数列の鬼門！和の記号シグマを攻略する！【公式一覧も】

2023年12月15日

数列の鬼門、\(\sum\)（シグマ）…。

この記事では、\(\sum\)の基本的な考え方から、なぜ\(\sum\)を使うのか？という本質的な理由まで、図を使いながら丁寧に説明していきます。

和の記号シグマの基本的な考え方

たろぅ

せんせい…\(\sum\)が意味不明です。

せんせ

はい、じゃあ基本から丁寧に説明していきましょう。

ということで、\(\sum\)です。今回は茶番なしでどんどんやっていきましょう。

まずは\(\sum\)の基本的な考え方です。

せんせ

これは、下の画像を確認してください。

例1．\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(2k-1)=1 + 3 + 5 + 7 + 9\)

「例1、意味わからん…」という人はこちら

今回の意味は「\(\sum\)の中身\( (2k-1) \)に\(k=1\)から、\(k=5\)まで（つまり\(k=1,2,3,4,5\)を）代入しながら足す」ということです。

具体的に代入すると、

\(k\)	1	2	3	4	5
\(2k-1\)	1	3	5	7	9

となるので、

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(2k-1)=1 + 3 + 5 + 7 + 9\)

となります。

例2．\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2^k=2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n\)

「例2…なんのこっちゃ…」という人はこちら

今回の意味は「\(\sum\)の中身\( 2^k \)に\(k=1\)から、\(k=n\)まで代入しながら足す」ということです。

具体的に代入すると、

\(k\)	1	2	3	…	n
\(2^k\)	\(2\)	\(2^2\)	\(2^3\)	…	\(2^n\)

となるので、

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2^k=2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n\)

となります。

例3．\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k^2+1)=(1)+(1^2+1) + (2^2+1) + \cdots + (n^2+1)\)

「例3…\(k=0\)？？…」という人はこちら

今回の意味は「\(\sum\)の中身\( (k^2+1) \)に\(k=0\)から、\(k=n\)まで代入しながら足す」ということです。

\(k=0\)を代入するので、最初の項は\(0^2+1=1\)となります。

あくまで機械的に代入しながら足していってください。\(k=0\)スタートだろうがなんだろうが気にしない。

具体的に代入すると、

\(k\)	0	1	2	…	n
\(k^2+1\)	1	\(1^2+1\)	\(2^2+1\)	…	\(n^2+1\)

となるので、

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k^2+1)=(1)+(1^2+1) + (2^2+1) + \cdots + (n^2+1)\)

となります。

ちなみに、\(k=0\)スタートなので、\(k=0, 1, 2, \cdots ,n\)の\( (n+1) \)個の項ができあがります。

例4．\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}k=nk\)

「例4、なんでいきなり\(nk\)なんかになるの？騙してる？」という人はこちら

今回の意味は「\(\sum\)の中身\( k \)に\(i=1\)から、\(i=n\)まで代入しながら足す」ということです。

この例の最大のポイントは、「\(i=1\)から」といいながら\(\sum\)の中身\( k \)に代入すべき\(i\)がない、という点です。

こういうときは、

「\(k\)に\(i=1\)代入してね」→「代入すべき\(i\)がないから（＝\(k\)は定数というイメージだから）代入結果は\(k\)でしょ？」

という感じになります。

つまり、\(i\)に何を代入しても結果は\(k\)なので、

\(i\)	1	2	3	…	n
\(k\)	\(k\)	\(k\)	\(k\)	…	\(k\)

よって、

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}k=k + k + k + \cdots +k = nk\)

となります。

せんせ

例えば、「\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\)」と書きたくて、間違えて「\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}n\)」と書いちゃったりする人がいます。
「それは\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}n=n\cdot n =n^2\)の意味ですぅ」
と意地悪言われないように、中身の変数には十分注意しましょう。

シグマ記号は便利な表現

たろぅ

…なんでわざわざ\(\sum\)みたいな分かりにくいことするんだろ？

と思うかもしれませんが、\(\sum\)には色々な利点があります。

①公式が使いやすい

一番わかりやすい利点ですね。

例えば、

和\( (1^2+2\cdot 1)+(2^2+2\cdot 2)+(3^2+2\cdot 3)+\cdots+(n^2+2\cdot n)\)を求めよ。

という問題の場合、等差数列でも等比数列でもないので、等差・等比の和の公式は使えません。

ここは、

\(\displaystyle (1^2+2\cdot 1)+(2^2+2\cdot 2)+(3^2+2\cdot 3)+\cdots+(n^2+2\cdot n)=\sum_{k=1}^n(k^2+2k)\)

と\(\sum\)を使ってまとめましょう。そうすると、後述しますが、公式が使えて、

\(\displaystyle (1^2+2\cdot 1)+(2^2+2\cdot 2)+(3^2+2\cdot 3)+\cdots+(n^2+2\cdot n)\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^n(k^2+2k)\)
\(\displaystyle=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)\)

と計算することができます。

②思考をまとめることができる

例えば、こちらの記事でデータの分析の変量変換の説明をしていますが、そこで、

\(n\)個のデータ、\(x_1\)、\(x_2\)、…、\(x_n\)の平均を

\(\displaystyle \overline{x}= \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \)とする。

すべての変量\(x\)を\(ax+b\)に変量変換すると、平均は、

\(\displaystyle \frac{1}{n} \{ (ax_1+b) + (ax_2+b) + \cdots + (ax_n+b) \} \)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{n} \{ a(x_1+\cdots x_n)+nb \} \)

\(\displaystyle \quad = a \frac{1}{n} (x_1+\cdots x_n)+b \)（← \(\frac{1}{n}\)を展開）

\( \quad = a \overline{x}+b\)（終）

こんな感じの説明をしています。

確かに全部書いた方が具体的でわかりやすいのですが、式がダラッと長くなるというデメリットもあります。

シンプルに平均を\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\)と書いた方が「\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\)は平均\(\overline{x}\)として捉えよう」という認識になるので、式変形に集中することができます。

先ほどの例も、

\(n\)個のデータ、\(x_1\)、\(x_2\)、…、\(x_n\)の平均を

\(\displaystyle \overline{x}= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k \)とする。

すべての変量\(x_k\)を\(ax_k+b\)に変量変換すると、平均は、

\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(ax_k+b) \)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{n}(a\sum_{k=1}^nx_k+nb) \)

\(\displaystyle \quad = a\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k+b \)

\( \quad = a \overline{x}+b\)

\(\sum\)の性質を使って式変形をすればいいだけなので、「この部分はまとめてぇ…展開してぇ…」というところにとらわれずシンプルに考えることができます。記述も楽ちんです。

困ったら足し算に直す

\(\sum\)はしょせん足し算です。困ったら足し算の形に直せばOKです！

例えば、先ほどの例3

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k^2+1)\)

これはこのままでは公式を使うことができません。

この後公式一覧を示しますが、\(\sum\)公式は\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\)という感じで、\(k=1\)スタートじゃないと使えないんです。

ではどうするかというと、\(\sum\)は数列の足し算を簡潔に書いたものなので、\(k=0\)のところだけ分離すればOKです。

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k^2+1)=(1)+(1^2+1) + (2^2+1) + \cdots + (n^2+1)\)
\(\displaystyle \quad =1+\sum_{k=1}^{n}(k^2+1)\)
\(\displaystyle \quad =1+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + n\)

（実際は一行目のように展開する必要はありません。イメージしやすいように一度展開しただけです。慣れれば二行目に一気にいけます。）

せんせ

足し算なんだから一部分離したり、付け足して\(\sum\)にまとめなおしたりすることも可能です。

シグマの公式一覧

とりあえず\(\sum\)公式の一覧を載せておきます。

\(\sum\)公式一覧

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}n(n+1)\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3 = \Big\{ \frac{1}{2}n(n+1) \Big\}^2 \)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = nc\)

せんせ

このあと勉強する階差数列で\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\)の\(\sum\)公式も使うのでついでに覚えておきましょう。
「＋」の部分が「ー（マイナス）」になるだけなので覚えやすいですしね。

とはいえ、上記の公式の\(n\)の部分を\( (n-1) \)にするだけです。\(n\)の部分に好きな数字や文字を入れることができる、というのは\(\sim\)公式の利点ですね。

\(\sum\)公式\((n-1)\)Ver一覧

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{1}{2}n(n-1)\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k^2 = \frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k^3 = \Big\{ \frac{1}{2}n(n-1) \Big\}^2 \)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}c = (n-1)c\)

※ \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}=\frac{1-r^n}{1-r}\)を\(\sum\)公式のように載せている参考書等もありますが、個人的にはこれを公式扱いするのはどうかなぁ…と思います。後述しますが等比数列の和として捉えた方がいいと思います。

\(\sum\)公式の証明

長くなるので\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}n(n+1)\)と\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)の証明だけにしておきます。

せんせ

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3\)の証明もやり方は同じです。

（証明）

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}n(n+1)\)は簡単です。

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n\)。これは初項1、末項n、項数nの等差数列の和なので、等差数列の和の公式を使えば\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}n(n+1)\)（終）

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)について。

等式\((k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1\)を使います。「いきなりなんじゃ、この式は」と思うかもしれませんが、この式に\(k=1,2,\cdots,n\)を代入しながら足すと面白いことが起きます。

\(\quad\quad\quad 2^3-1^3 = 3\cdot 1^2 + 3\cdot 1 + 1\)
\(\quad\quad\quad 3^3-2^3 = 3\cdot 2^2 + 3\cdot 2 + 1\)
\(\quad\quad\quad 4^3-3^3 = 3\cdot 3^2 + 3\cdot 3 + 1\)
　　　　…
\(+) (n+1)^3-n^3 = 3\cdot n^2 + 3\cdot n + 1\)

これら\(n\)個の式を足すと、

左辺は\(2^3\)、\(3^3\)、…\(n^3\)部分が消えてしまって、\((n+1)^3-1^3\)だけが残ります。

一方、右辺は各式の第1項を3でくくると、\(\displaystyle 3(1^2+2^2+\cdots+n^2)=3\sum_{k=1}^{n}k^2\)、
第2項を3でくくると、\(\displaystyle 3(1+2+\cdots+n)=3\sum_{k=1}^{n}k=3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)\)、
第3項は1が\(n\)個あるので\(n\)となり、

（右辺）\(\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\)

よって、

\(\displaystyle (n+1)^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\)

\(\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^2=(n+1)^3-1^3-\frac{3}{2}n(n+1)-n\)

これを整理すると、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)（終）

せんせ

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3\)は\((k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\)の等式に\(k=1,2,\cdots,n\)を代入して足してあげれば同じように証明できます。計算はかなりハードです…。

また、\(\sum\)は分けたり、定数をくくり出したりすることができます。

\(\sum\)の性質

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n(x_k + y_k) =\sum_{k=1}^n x_k+\sum_{k=1}^n y_k\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n a x_k =a\sum_{k=1}^n x_k\)

せんせ

これは計算するために必要な性質ですが、慣れれば意識せずに使えるようになりますよ。

シグマ公式の計算のコツ

\(\sum\)計算ははっきり言って計算ミスしやすいです。

ここでは\(\sum\)計算のコツをお話ししていきます。

せんせ

とはいえ、実質計算のコツについては①がメインのお話ですね。

①極力くくる。

例えば\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k^2+k)\)を計算しようとしたとします。

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k^2+k)=2\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle \quad = \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)\)

となりますが、このあとどう計算するか…が結構問題です。

計算方法については「これが正解！」というのはないのですが、\(\sum\)計算では極力くくることをオススメします。

何も考えずに全部展開する人がいますが、あまりオススメできません。なぜなら、「複数の展開をしなければならず手間と計算ミスする可能性が増え」、「係数が十中八九分数になるので同類項でまとめる際に通分ミスする可能性が増える」からです。

\(\sum\)計算では同じような因数が多く出てくるので、くくった方が効率がいいんです。更に、分数も上手にくくることで、分数計算を避けることができます。

せんせ

先ほどの計算を上手にくくって計算してみましょう！

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle \quad = \frac{1}{6}n(n+1) \{ 2(2n+1)+3 \} \)（←\(\frac{1}{6}\)でくくるのがポイント）
\(\displaystyle \quad = \frac{1}{6}n(n+1)(4n+5) \)

共通因数\(n(n+1)\)でくくるのは当然ですが、係数\(\displaystyle \frac{1}{3}\)と\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の分数を同時に解消するために分母の最小公倍数である6、つまり\(\displaystyle \frac{1}{6}\)でくくります。

このとき、分数が解消される代わりに、残った各項に2と3を掛けなければいけません。

せんせ

実質計算しているところは\(\{ 2(2n+1)+3 \} \)の部分だけです！
このあたりが慣れが必要な部分ですが、最初は確認しながらくくりましょう。できたらこっちの方がずっと早い（＝計算ミスのリスクも減る）ですよ！

②\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k-1}\)系は等比数列の和で処理する。

\(\sum\)の中身に\(r^k\)の形があれば、等比数列の和で処理した方がいいです。

先ほども言いましたが、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}=\frac{1-r^n}{1-r}\)を\(\sum\)公式のように扱うのはあまりオススメできません。

せんせ

いくつか例をあげてみましょう。

例．\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2^{k}\)、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}\)、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3 \cdot 2^{k}\)

例えば、この３つ…先ほどの公式を使おうとするとちょっとわかりにくくないですか？

先ほどの公式を使い慣れている人なら指数部分の調整などが正しくできるかもしれませんが、かなり慣れていないと難しいかな、と思います。

それよりも、「\(r^k\)の形は等比数列の和」というのと、こちらの記事で説明しましたが等比数列の和は