数列の基本!等差数列を基礎から徹底的に解説【公式の覚え方のイメージも】

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数列の基本、等差数列…。

基本ではあるのですが、数列は公式が複雑になりがちです。

この記事では、等差数列の基本と公式のイメージを図を使いながら説明していきます。

目次

等差数列とは?

はなこ

はい、じゃあこの生徒会で集めた募金を数えるのよ。

たろぅ

うっ…!(全部1円…1円の山…)

はなこ

さ、早く数えて。

たろぅ

…はい。2、4、6、8、10円…っと。

(1時間経過…)

たろぅ

うぅ…やっと10円の束にしたぞ。じゃあこれを数えて…10、20、30、40…。

はなこ

まだですかぁ?はやくしてくださーい。

ということで、等差数列です。

2、4、6、8…とか10、20、30、40…とよく数えますよね。

このように、ある一定の数ずつ増えていく(もしくは減っていく)数列のことを等差数列といいます。

上の例は2ずつ増えたり、10ずつ増えていくので等差数列といえます。(若干無理がある気もしますが…)

もう少し数学的に言うと、等差数列は「前の項に、ある一定の数を足すことで次の項が得られる数列」です。

等差数列を決定するのは、初項\(a\)と足していく「一定の数」\(d\)です。この「一定の数」のことを公差といいます。

等差数列は数列の基本です。公式や重要なイメージを確認していきましょう!

等差数列の一般項の公式

等差数列の一般項(第\(n\)番目の項)は次のようになります。

等差数列の一般項

初項\(a\)、公差\(d\)の等差数列\( \{ a_n \} \)の一般項\(a_n\)は、

\(a_n = a + (n-1)d\)

せんせ

公差\(d\)に掛かるのが\( (n-1) \)というところがポイントですね!

等差数列の一般項

一般項(第\(n\)番目の項)は\(a_n = a + d +d +d +\cdots + d = a + (n-1)d\)と計算できます。

一般項\(a_n\)を出しておけば、\(n\)に必要な数や文字を代入することで、すぐに「第◯項」を求めることができるので、数列において一般項を求める作業はかなり重要です。

ちなみに「等差数列の一般項を求めなさい」という問題を出したら、式整理をしない人がたまにいるんですよね…式整理はしてください。

例.初項2、公差3の等差数列の一般項は、\(a_n = 2 + (n-1)3\)(←ここで終わらせない)。よって、\(a_n=3n-1\)(←ここまで整理する。)

等差数列の「等差」は「差が等しい」という意味です。

公差\(d\)の等差数列では、どんな自然数\(n\)に対しても、\(a_n\)と\(a_{n+1}\)の間には次のような関係が成り立っています。

\(a_{n+1} = a_n + d\) …※

\(a_{n+1} – a_n = d\)

せんせ

ということで、隣の項との差が常に等しい数列ということがわかります。

こういう書き方をすると「よくわかんない…」という人がいるかもしれませんが、数列では抽象的な「\(n\)番目」とか「\((n+1)\)番目」のような表現をすることが多いので、少しずつ慣れていきましょう。

ちなみに後々出てきますが、数列を※のように式で表したものを漸化式といいます。

等差数列の和の公式

数列では、初項から第\(n\)項までの和もよく求めます。

例.\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots +n = \frac{1}{2}n(n+1) \)など。(←なぜこうなるかは後ほど)

等差数列の第\(n\)項までの和の公式は次のようになります。

等差数列の和

初項\(a\)、末項\(l\)、項数\(n\)の等差数列\( \{ a_n \} \)の和\(S_n\)は、

\(\displaystyle S_n = \frac{1}{2} n (a + l)\)…①

もしくは、初項\(a\)、公差\(d\)、項数\(n\)とすると、

\(\displaystyle S_n = \frac{1}{2} n \{ 2a + (n-1)d \} \)…②

和の公式
せんせ

②の公式については、「\(2a\)」となるところが一般項の公式と違うので注意です。②は初項と公差(と項数)がわかれば使えるので便利がいい気がしますが、①の方が考え方としては本質的です。

(証明)

等差数列の「最初と最後」、「2番目と最後から2番目」…を足せば一定の値になる、というのは結構知っている人が多いですが、それをしちゃうと、項の数が偶数なのか?奇数なのか?によって処理方法が変わるのが悩みどころです。

和の考え方

本当は「分かりやすい部分を計算して、分かりにくい部分はあとで付け加える」というのは数列の和の考え方としては重要なのですが、公式としては使いづらいので、証明としては\(S_n\)を2つ準備します。

\(S_n = a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (l-2d) + (l-d) + l \)…①

\(S_n = l + (l-d) + (l-2d) + \cdots + (a+2d) + (a+d) + a \)…②

\( (l-d) \)、\( (l-2d) \)のところがわかりにくいかもしれませんが、公差\(+d\)なので、末項から逆に数えると\(-d\)すればいいことになります。

加えて、②の形がポイントです。式としては①と同じですが、末項から逆の順番に並べています。

①+②より

\(2S_n = (a+l) + (a+l) + (a+l) + \cdots + (a+l) + (a+l) + (a+l) \)

\(2S_n = n(a+l)\)

\(\displaystyle S_n = \frac{1}{2}n(a+l)\)(終)

また、末項\(l\)はこの場合第\(n\)項のことなので、

\(l = a_n = a+ (n-1)d\)を代入すると、

\(\displaystyle S_n = \frac{1}{2} n \{ a + a + (n-1)d \} \)

よって、

\(\displaystyle S_n = \frac{1}{2} n \{ 2a + (n-1)d \} \)(終)

冒頭の\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots +n = \frac{1}{2}n(n+1) \)は、

初項\(1\)、末項\(n\)、項数\(n\)の等差数列の和

と言えます。よって、公式を使うと、\(\displaystyle \frac{1}{2}n(1+n)=\frac{1}{2}n(1+n) \)となります。

練習問題11-1【No.3】

問.初項4、公差3の等差数列の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)と、初項3、公差2の等差数列の初項から第\(n\)項までの和\(T_n\)の差\(S_n – T_n\)を求めよ。

答え

\(\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\)

(解答は2パターンくらいあります)

まとめ

等差数列の基本と公式の確認でした。

特に公式は「覚えるのが苦手…」という人も多いです。

文字の羅列ではなく、イメージを押さえながら実際に使って覚えていきましょう。

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