指数関数のグラフで押さえておくべき重要な特徴３選

指数関数のグラフは単純な形をしていますが、実は重要な性質が隠れています。

この記事では、対数関数のグラフの重要な特徴について説明していきます。

指数関数のグラフ

ということで指数関数のグラフです。

たろうくんが言うように指数関数のグラフは単純な形をしていますが、実はいくつか重要な特徴があります。

指数関数のグラフの特徴

指数関数のグラフにはいくつか押さえておくべき特徴があります。

これは、グラフというよりも、このあとの指数方程式・不等式などの問題を解く際によく使う性質になります。

１．必ず点（0,1）を通る

これはわかりやすいです。どんな指数関数\(y = a^x\)でも、\(a^0=1\)となるので、必ず点\( (0,1) \)を通ります。

２．y>0、x軸が漸近線

これは結構重要です。

グラフとしては単純に「\(x\)軸より上の部分（\(y>0\)）にグラフがある」ということと「\(x\)軸に近づく」という話になりますが、

このあとの指数方程式で置き換えが必要になったときや、数学Ⅲの極限で重要な性質になります。

例．方程式\(4^x-2^x+2 = 0\)を解け。

\(2^x = t\)と置かないといけませんが、そのとき\(2^x > 0\)なので\(t>0\)となることに注意しないといけません。

３．底a>1で単調増加、0<a<1で単調減少

かなり重要です。

このあと指数不等式を解く際に、必ず押さえなければいけないポイントになってきます。

なぜなら\(a^p > a^q\)という不等式が与えられた場合、指数部分\(p\)、\(q\)の大小関係が

「そのまま\(p>q\)」となるか？「ひっくり返って\(p < q\)」となるか？は

底\(a\)が\(a>1\)なのか\(0 < a < 1\)なのかによるからです。

おまけ１．底による対称性

これは「関数の性質」から言える指数関数の特徴です。

よくありますが、\(y = a^x\)と\(\displaystyle y = \left( \frac{1}{a} \right)^x\)は\(y\)軸対称です。

例．\(y = 2^x\)と\(\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right)^x\)は\(y\)軸対称。

これは\(\displaystyle y = \left( \frac{1}{a} \right)^x = (a^{-1})^x = a^{-x}\)

となるからです。

コチラの記事で説明しましたが、関数\(f(x)\)の\(x\)を\(-x\)に置き換えたときに\(f(x) = f(-x)\)となれば\(y\)軸対称となります。（コチラは１つのグラフが\(y\)軸対称、という話なので、今回のように２つのグラフが\(y\)軸対称という話とはちょっと違いますが、考え方は同じです。）

おまけ２．指数関数を「底のべき乗倍」したら平行移動！？

マニアックな感覚です。

タイトルがわかりにくいですが、つまり\(y = a^x\)に対して、

\( y = a^p \cdot a^x\)を考えよう、

ということです。

関数を実数倍しているので、グラフの感覚で言えば「\(y\)軸（縦）方向に伸ばすor縮める」という感じになります。

が、同時にこれが\(x\)軸方向の平行移動を表しています。

これは、\( y = a^p \cdot a^x= a^{x+p}\)となるからです。

ちなみに指数にも底の変換公式があるので、必ずしも「底の」べき乗倍である必要はありません。

何倍しようが、底の変換公式で底を揃えて（指数関数の次に勉強する「対数」の力を借りながら）平行移動の形にもっていくことができます。

例．\(y = 3 \cdot 2^x = 2^{\log_2 3} \cdot 2^{x} = 2^{x + \log_2 3}\)

指数関数のグラフまとめ

指数関数のグラフについてでした。

指数関数のグラフは単純な形ですが、指数方程式や不等式を解く際のポイントとなる特徴があるので、そこを押さえておくことは重要です。