べき乗？マイナス乗？分数乗？ってなに？わかりやすく解説

\( 2^4 \)、計算できますか？

じゃあ、\( 2^{-2} \)、計算できますか？

「ん？」と思う人もいると思います。

この記事では、指数部分にマイナスや分数がある、いわゆる「べき乗」について説明していきます。

「自然数乗」と「0乗」

まずは普通の「自然数乗」からいきましょう。

先ほどの\( 2^4 \)は、「2が4個掛かっている」状態を表します。

\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \) ですね。

次に「0乗」についてですが、先ほど「2が4個掛かっている」と言いましたが、「何に？」というのが重要ですね。答えは「1に」です。

ということで、\(2^0 \)と言ったら、「1に2が0個掛かっている」という意味になりますので、

\(2^0=1\)となります。

マイナス乗

さて、ここからですね。

数学というのは、考え方を拡張していきたがる、という特徴があります。

指数部分が0以上の整数だったら、というのは先ほど説明しましたが、じゃあ「指数部分がマイナス」だったらどうなるんだろう？という具合に考え方を拡張していきます。

考え方としては、以前紹介した（マイナス）×（マイナス）＝（プラス）の話と似ています。

ということで、指数に関する以下の重要な性質が得られます。

指数法則、というのは指数に関する以下の法則です。

例えば、

• \(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 \)
• \( (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \)

のような感じですね。これが、指数部分がマイナスでも上手いこと成り立ってくれます！

• 指数部分がマイナスのときに一つ目の指数法則を使ってみます。\( 2^3 \times 2^{-2} = 2^{3-2}=2^1 \) 。これは先ほどの\(\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} \)を使うと、\(\displaystyle 2^3 \times 2^{-2} = 2^3 \times \frac{1}{2^2} = 2^1 \)と説明できるので、確かに一つ目の指数法則が成り立ちます。
• 指数部分がマイナスのときに二つ目の指数法則を使ってみます。\( (2^3)^{-2} = 2^{3 \cdot (-2)} = 2^{-6} \)。これも同様に、\( \displaystyle (2^3)^{-2}=\frac{1}{(2^3)^2} = \frac{1}{2^{2 \cdot 3 }} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6} \)となり、確かに二つ目の指数法則が成り立ちます。

累乗根とは？

次は「分数乗」の話なのですが、この累乗根というものを知っておかないと、その話ができません。ですので、累乗根の説明を簡潔に、具体的にしていきたいと思います。

「\(a\)の平方根」とは、「2乗したら\(a\)になる数」のことです。

例えば、「4の平方根は？」＝「2乗すると4になる数は？」＝「\( \pm 2\)」となります。\( 2^2=4\)、\((-2)^2=4\)なので、確かにどちらも「2乗すると4になる数」ですね。

「2の平方根は？」＝「2乗すると2になる数は？」＝「\( \pm \sqrt{2} \)」となります。ここで、「2乗すると2になる数」を整数で表すことができないので、ルートという記号を導入したわけですね。

では本題です。

「2乗したら\(a\)になる数」の考え方を拡張して、「3乗したら\(a\)になる数」、「4乗したら\(a\)になる数」、…「n乗したら\(a\)になる数」のことをn乗根と呼ぶことにします。

例えば、「8の3乗根は？」という具合ですね。「8の3乗根は？」＝「3乗すると8になる数は？」＝「\(2\)」となります。今回は\( -2\)は8の3乗根ではないですね。\( (-2)^3=-8\)だからです。

「2の3乗根は？」と聞かれたら、これも新たな記号を導入してあげる必要があるのがわかると思います。そこで、ルートと同様に「3乗したら2になる数」を「\( \sqrt[3]{2}\)と書こう」と決めます。\( \sqrt[3]{\quad}\)のことを3乗根、と言います。

ということで、一般的に「n乗したら\(a\)になる数」を「n乗根」といい、「\( \sqrt[n]{a}\)（場合によっては\( \pm \sqrt[n]{a}\)となる）」と書きます。

分数乗

指数法則が成り立つとすれば、

\( (2^{ \frac{1}{2}})^2 = 2^{ \frac{1}{2} \times 2} = 2^1 = 2\)

となります。

「２乗したら2になる数」…これは平方根のことですね。正確には\( 2^{ \frac{1}{2}} \)にはマイナスがついていないので、平方根のプラスの方、つまり\( \sqrt{2} \)のことです。

一般的に指数法則が分数乗で成り立つとすると、\( ( a^{\frac{1}{n}} )^n =a^{\frac{n}{n}}=a^1=a \)となるので、\(a^{\frac{1}{n}} \)はn乗したら\(a\)になる数、つまり\(a\)のn乗根（の正の方）と言えそうです。

２つ目は「これが成り立つとすると」という話から始めたので、成り立ちます。３つ目も成り立つのはすぐにわかるでしょう。

１つ目について、これが成り立つかどうか確認してみます。

とりあえず計算してみると、\( 2^{ \frac{1}{2}} \times 2^{ \frac{1}{2}} =2^{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=2^1=2 \)ですが、\( 2^{ \frac{1}{2}} =\sqrt{2} \)とすると、

\( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \)なので、確かに１つ目の指数法則が成り立ちそうです。

もう一つ具体的な計算をしてみましょう。先ほどの、\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)となる、と考えると、例えば\(2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \)となりますね。これで１つ目の指数法則が成り立つか確認してみましょう。

\( 2^{ \frac{1}{3}} \times 2^{ \frac{1}{3}} =2^{ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{2})^2 \)ですね。

一方、\( 2^{ \frac{1}{3}} \times 2^{ \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2}= (\sqrt[3]{2})^2\)となるので、問題なく指数法則が成り立ちそうです。

まとめ

今回は指数の拡張について説明しました。よく知っている指数について、指数部分がマイナス、分数のときに以下のような性質が成り立つのは面白いですね。

指数の意味として「\(a^n\)は\(a\)がn個掛かっている」ということであれば、nは0以上の整数、と考えるのが普通だと思います。

しかし、「もしこうだったらどうだろう？」「それに正しく意味をもたせることができるだろうか？」と想像力を働かせて、論理的に正しい定義をしてあげることで、数学の世界はどんどん広がっていきます。

想定する力と、イメージを矛盾なく具体化するための論理力は現実世界でも重要ですね。