常用対数は実は便利！？わかりにくい常用対数の正体を見抜く

（解答）

まずは普通に解いていきましょう。

\(2^{100}\)の常用対数をとります。

\(\log_{10}{2^{100}}=100\log_{10}{2}\)

\(\quad = 100 \times 0.3010 = 30.10\)

\(30 < \log_{10}{2^{100}} < 31\)より

\(10^{30} < 2^{100} < 10^{31}\)

なので、\(2^{100}\)は31桁の整数です。

\(\log_{10}{2^{100}}=30.10\)を対数の定義を使って指数の形に戻すと、

\(2^{100} = 10^{30.10}\)

\(\quad = 10^{30+0.10}=10^{0.10} \times 10^{30}\)

指数法則を使ってここまで変形することができました。\(10^{0.10}\)と\(10^{30}\)に分けたところがポイントです。

たろぅ

はぁ…\(2^{100}\)を\(10^{n}\)の形にするわけですね。\(10^{0.10}\)がよくわかんないですけど、なんとなくさっきの「大きい数や小さい数の表現方法」に似た形になってきましたね。

その通りです。実は\(10^{0.10} \times 10^{30}\)は、さっきやった「大きい数や小さい数の表現方法」なんですね。

ここで、\(10^{0.10}\)について考えていきます。

まず、 \(10^{r}\)の指数部分\(r\)が\(0 \leq r < 1\)の小数のとき、

\(10^0 = 1\)、\(10^1 = 10\)なので、

\(1 \leq 10^{r} < 10\)となります。

ですので、まさに、\(10^{0.10} \times 10^{30}\)は、\(1 \leq 10^{0.10} < 10\)なので

\( a \times 10^n\)

の形なんですね。

この形になれば、31桁の整数だ、というのもわかりやすいですし、この後応用問題でよく出る「最上位桁の数は？」の意味もわかりやすくなります。

せんせ

では、\(1 \leq 10^{r} < 10\)について、徹底的に調べていきましょう！

\(\log_{10}{2} = 0.3010\)は今回の問題で与えられましたが、\(\log_{10}{1}\)〜\(\log_{10}{9}\)まで、全部調べていきます！

ちなみに、\(\log_{10}{3} = 0.4771\)と\(\log_{10}{7} =0.8451\)は常用対数表などで調べるしかないです。

ですが、後は\(\log_{10}{2}\)、\(\log_{10}{3}\)、\(\log_{10}{7}\)の値を使って計算できます。

では計算していきましょう！

• \(\log_{10}{1} = 0\)。これはいいですね。これも対数の定義を使って指数の形に戻しておきます。\(10^{0} = 1\)。
• \(\log_{10}{2} = 0.3010\)。これも指数の形にすると、\(10^{0.3010} = 2\)。

ここまでくると、ちょっと見えてきた人もいると思います。どんどんいきましょう！

• \(\log_{10}{3} = 0.4771 \leftrightarrow 10^{0.4771} = 3\)。
• \(\log_{10}{4} = \log_{10}{2^2}\)
  \(\quad = 2\log_{10}{2} = 2 \times 0.3010 = 0.6020\)
  \(\leftrightarrow 10^{0.6020} = 4\)。
• \(\displaystyle \log_{10}{5} = \log_{10}{\frac{10}{2}}\)
  \(\quad =\log_{10}{10}-\log_{10}{2} = 1- 0.3010 = 0.6990\)
  \(\leftrightarrow 10^{0.6990} = 5\)。（←ちなみにこの方法で\( \log_{10}{5}\)を計算する、というのはよくやります。覚えときましょう）
• \(\displaystyle \log_{10}{6} = \log_{10}{2\times 3}\)
  \(\quad =\log_{10}{2}+\log_{10}{3} = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781\)
  \(\leftrightarrow 10^{0.7781} = 6\)。
• \(\log_{10}{7} = 0.8451 \leftrightarrow 10^{0.8451} = 7\)。
• \(\log_{10}{8} = \log_{10}{2^3}\)
  \(\quad = 3\log_{10}{2} = 3 \times 0.3010 = 0.9030\)
  \(\leftrightarrow 10^{0.9030} = 8\)。
• \(\log_{10}{9} = \log_{10}{3^2}\)
  \(\quad = 2\log_{10}{3} = 2 \times 0.4771 = 0.9542\)
  \(\leftrightarrow 10^{0.9542} = 9\)。

せんせ

一度、表にまとめておきましょう。

ということで、\(10^r\)（ただし\(0 \leq r < 1\)）の\(r\)の値を調べることで、\(10^r\)のおよその値を調べることができます！

ちなみに、\(2^{100}=10^{0.10} \times 10^{30}\)は31桁の数、というのもわかりますが、\(10^{0.10}\)は\(10^{0} < 10^{0.10} <10^{0.3010}\)、つまり

\(1 < 10^{0.10} <2\)

なので、最上位桁の数は1ということもわかります。

せんせ

常用対数表を使えばもっと詳しく調べることができますよ！

大体、指数部分である\(0.10\)辺りを調べてみました。

常用対数表から、\(\log_{10}{1.25} = 0.0969\)、\(\log_{10}{1.26} = 0.1004\)なので、

\(10^{0.0969} = 1.25\)、\(10^{0.1004} = 1.26\)。

つまり、\(10^{0.0969} < 10^{0.10} < 10^{0.1004}\)。

よって、\(1.25 < 10^{0.10} < 1.26 \)なので、

\(2^{100}=1.25\cdots \times 10^{30}\)程度の値だ、ということまでわかりました。

せんせ

常用対数を使えば、こうやって、大きな数や小さな数の大体の様子を調べることができるわけですね。

常用対数表も置いておきますので、よければ使ってください！

常用対数表

（解答）（←？）

まず、返済金額を立式してみましょう。

可哀想なことに、太郎くんはわけもわからず「複利計算」で借金をしてしまいました。

360日におまけしてくれたので、利息がつく回数は36回です。

ということで、

\(2000 \times 1.1 \times \cdots \times 1.1 = 2000(1.1)^{36}\)

となります。常用対数をとって計算すると、

\(\log_{10} \{ {2000(1.1)^{36}} \} = \log_{10} \{ {2 \times 10^3 \times (1.1)^{36}} \}\)

\(\quad = \log_{10}{2} + 3 \log_{10}{10} + 36 \log_{10}{1.1}\)

\(\quad = 0.3010 + 3 + 36 \times 0.0414 = 4.7914\)

指数の形に戻すと、\(2000(1.1)^{36} = 10^{4.7914} = 10^{0.7914}\times 10^4\)

再び常用対数表を使って指数部分である\(0.7914\)付近を調べます。

\(\log_{10}{6.18} = 0.7910\)、\(\log_{10}{6.19} = 0.7917\)なので、

\(10^{0.7910} = 6.18\)、\(10^{0.7917} = 6.19\)。

よって、\(6.18 < 10^{0.7914} < 6.19\)なので、

\(2000(1.1)^{36} = 6.18 \cdots \times 10^4 =\)約61800円

となります。

たろぅ

…。（え？借りたの2000円だったよね？なに？詐欺？詐欺にあったの？）

はなこ

キリ良く62000円でいいわよ。

たろぅ

キリはよくなったけど、増えてる…。

実際に電卓を使って計算しても61825.3610…円、とかなり精度良く計算できているのがわかります。

※ トイチでお金を貸すのは法律違反です！良い子の皆はマネしない！