グラフの平行移動はこれを押さえれば完璧！【二次関数の例で理解する】

さて皆さん、いきなりですが問題です。

関数\(y=(x-1)^2+1\)が表すグラフの頂点の座標を求めよ。

…答えは（1,1）ですね。

簡単に説明すると、

\(y=(x-1)^2+1\)の\( x-1\)を見て、頂点の\(x\)座標を\(1\)、

\(y=(x-1)^2+1\)の最後の\(+1\)を見て、頂点の\(y\)座標を\(1\)

と読みます。

しかし、ここで疑問に思うのは、

「なんで\(x-1\)を見て『頂点の\(x\)座標を\(1\)』と判断して、\(+1\)を見て『頂点の\(y\)座標を\(1\)』と判断するの？」

というところではないでしょうか。マイナスがついたり、つかなかったり…わかりにくいですよね？

実はここが理解できると、この後「グラフ（や図）の平行移動」が全て同じように理解できます。

ということで、この記事ではグラフ（や図）の平行移動について話をしていきます。

グラフや図の平行移動をどう説明するか

実はこれ、数学IIの「軌跡」の話なんですが…そこは少し置いておいて、二次関数のお話をしましょう。

２次関数のグラフの平行移動をおさらい

二次関数の平行移動（頂点が原点以外のところに移動する）については、大体次のような流れで説明していきます。

例1．\(y=x^2+1\)の頂点は？

一般化して、

二次関数\(y=ap^2+q\)が表すグラフの頂点の座標は\( (0 , q)\)

例2．\(y=(x-1)^2\)の頂点は？

一般化して、

二次関数\(y=a(x-p)^2\)が表すグラフの頂点の座標は\( (p , 0)\)

大体納得いかなくなったくらいに、トドメの

例3．\(y=(x-1)^2+1\)の頂点は？

で、

二次関数\(y=a(x-p)^2+q\)が表すグラフの頂点の座標は\( (p , q)\)

と、一般化されます。まぁこれで「そんなもんか」と思ってくれればいいのですが…。

２次関数のグラフを平行移動する際のちょっと突っ込んだ考え方

ということで、少し一般的な考え方を説明します。

y軸（縦）方向の平行移動

例1’．\(y=x^2+q\)の頂点は？

ポイントは\(y=…\)の最後に\(+q\)されている、というところです。つまり、

こんな感じになります。

要は、すべての\(x\)に関して、\(x^2\)を計算した上で\(+q\)するので、

\(y\)軸（縦）方向に\(+q\)平行移動する

ということになります。

x軸（横）方向の平行移動

例2’．\(y=(x-p)^2\)の頂点は？

ここらへんがちょっとわかりにくいのですが、先に\(x\)の部分を\(x-p\)にしています。つまり、

こんな感じになります。

要は、すべての\(x\)に関して、\(x-p\)を計算した段階で

\(x-p\)の位置の\(y\)の値を\(x\)にまでズラす感じ＝\(x\)軸（縦）方向に\(+p\)だけ平行移動する

ということになります。

注意点としては、先に\(x\)を\(x-p\)として計算しないといけないので、

\(y=x^2\)を平行移動させたいなら

\(x\)を\(x-p\) → ２乗 → \(y=(x-p)^2\)

となります。

合わせ技で平行移動

ここまでわかれば、あとはそんなに難しくないです。

例3’．\(y=(x-p)^2+q\)の頂点は？

• \(x\)を\(x-p\)とする → \(x\)軸（縦）方向に\(+p\)だけ平行移動
• \((x-p)^2\)を計算したあと\(+q\)する → \(y\)軸（縦）方向に\(+q\)平行移動する

なので、合わせ技で頂点が\( (p, q) \)に移動することになります。

グラフの平行移動を軌跡で理解する

とりあえずここまでで２次関数の平行移動が理解できればOKですが、後々のためにも軌跡の話を知っておくのをオススメします。

軌跡とは

軌跡は、「ある条件を満たしながら動く点」の「動く跡の方程式を求める」という話です。

やり方としては…

1. 求める軌跡の動点の座標を\((x,y)\)とおく。
2. その\(x\)、\(y\)の関係式を条件から求める。

という流れです。

ということで、平行移動したグラフを表す関数の軌跡を求めてみましょう。

ゴールは、

\(y=f(x)\)を\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(b\)だけ平行移動したグラフの軌跡を求める

ことです。

つまり、「元のグラフから\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(b\)だけ平行移動した点」の「動く跡の方程式を求める」

というお話です。

① まず、求める軌跡（平行移動したグラフ）の点を\( P(X, Y) \)とします。

この\(X\)と\(Y\)の関係式を作れば、軌跡を求めたことになります。

これがこの問題のゴールです。覚えておきましょう。

② 元のグラフを表す関数を\(y=f(x)\)として、Pの元（平行移動する前）を表す点を\(Q(a,b)\)とします。

③ すると、\(Q(a,b)\)と\( P(X, Y) \)の間には、

\(X=a+p , Y=b+q\)

という関係式が成り立ちます。

④ 一方、ゴールである\(X\)、\(Y\)の関係式は直接わかりませんが、関係式がある文字がこの中に存在します。

それは\(Q(a,b)\)の座標である\(a\)と\(b\)です。

\(Q\)は\(y=f(x)\)上にあるので、\(b=f(a)\)という関係式…※が成り立ちます。

⑤ ③で\(X=a+p , Y=b+q\)が成り立つことは確認しました。

ここから、式を変形して\(a = X-p , b = Y-q\)とします。

この\(a = X-p , b = Y-q\)を\(b=f(a)\)という関係式（※の式）に代入します。

すると、

\(Y-q=f(X-a)\)

という関係式が得られます。

…もう一度ゴールを思い出しましょう。ゴールは\(X\)と\(Y\)の関係式を作ることです。

この\(Y-q=f(X-a)\)は、まさに\(X\)と\(Y\)の関係式ですよね。

\(X\)、\(Y\)は軌跡を求めるためにわかりやすく設定した文字なので、実際には\(x\)、\(y\)としてOKです。

つまり、\(y=f(x)\)を平行移動したグラフの軌跡は\(y-q=f(x-a)\)として表すことができます。

この考え方はかなり使えます。必ず押さえておいてください。

もう一度２次関数のグラフの平行移動を考えてみよう

例3’．\(y=(x-p)^2+q\)の頂点は？

の結果を、軌跡を使った平行移動から説明してみましょう。

\(y=(x-p)^2+q\)の頂点は\( (p, q) \)になる、というのは確認しました。

これを軌跡の平行移動、という目線で考えると、

\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動したグラフなので、

元の\(y=x^2\)を\(x \rightarrow x-p\)、\(y \rightarrow y-q \)と置き換えればよい、

ということになります。つまり、

\(y-q=(x-p)^2\)

とすれば、頂点\( (p, q) \)になります。

関数は\(y=…\)の形にしておくのが基本なので、\(y-q=(x-p)^2\)の\(-q\)を移項します。すると、

\(y=(x-p)^2+q\)

となりますよね？

…という風に解釈することもできます！

つまり、平行移動の考え方だと、\(x-p\)よりも、むしろ\(+q\)の方がイレギュラーなんですね！

すごいぞ！置き換えによるグラフの平行移動！

直線の方程式（数学II）

これなんかはそのままですね。

原点を通る、傾き\(m\)の直線は\(y=mx\)です。

このとき、平行移動の点としてわかりやすいのは原点\((0,0)\)ですね。\((0,0)\)が\((p,q)\)に平行移動した、と考えます。

つまり、\(x \rightarrow x-p\)、\(y \rightarrow y-q \)と置き換えると先ほどの、

\( y-q = m(x-p) \)が得られます。

円の方程式（数学II）

これも平行移動ですね。\(x \rightarrow x-p\)、\(y \rightarrow y-q \)と置き換えていますね。

三角・指数・対数関数（数学II）

例えば、三角関数

\(\displaystyle y= \sin\Big(x-\frac{\pi}{4}\Big)\)は\( y=\sin{x}\)を\(x\)軸方向へ\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \)平行移動したものとなります。

指数関数の\(y=2^{x-1}+1\)は\(y-1=2^{x-1}\)と変形することで、

\(y=2^x\)の\(x \rightarrow x-1\)、\(y \rightarrow y-1 \)と置き換えた形になる

ので、\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(1\)だけ平行移動したものになります。

対数関数の\(y=\log_2(x+1)\)は\(y=\log_2 x\)のグラフを

\(x \rightarrow x+1=x-(-1)\)に置き換えているので、

\(x\)軸方向に\(-1\)だけ平行移動したもの、となります。

ちょっとくどいのでそろそろ止めますが、実はまだまだ他にも例があります。

置き換えによる平行移動は便利…というか色んなところに出てくるので慣れていきましょう！

慣れれば二次関数の頂点を読むのもカンタンになります！

まとめ

結構長くなりましたが、平行移動は実践的にもよく使う手段です。