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二次方程式のxの係数が偶数？b’を使った解の公式の「便利さと学ぶ意味」
二次方程式の解の公式はご存じですか？
\(x\)の２次方程式、\( ax^2+bx+c=0\)の解は\( \displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
実はこの解の公式、\(x\)の係数が偶数の場合に簡単な公式があるのをご存知でしょうか？
この記事では、\(x\)の係数が偶数の場合にいわゆる「\(b’\)を使った解の公式」の使い方と、解の公式にまつわる注意点を説明していきたいと思います。
目次
二次方程式の解の公式ってなんでこんな形なの？
せんせはい、では問題です。
たろぅはい、どうぞ。（いきなりの問題にも慣れてきたぞ。どうせ「解の公式」を導出しなさい、とか言うんだろ？）
せんせ解の公式を導出してください。
たろぅよっしゃ！
せんせん？自信あるね？できるの？
たろぅ…いいえ、できません。
解の公式は「平方完成」がベースになります。こんなところでも平方完成は使うんですね。
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「平方完成」は高校数学で最初の山場、と言ってもいいでしょう。 「平方完成ってなんだったっけ？」という人にも、「なんで平方完成なんかするんじゃ！」という人にも、…
（証明）
\( ax^2+bx+c=0 \)より、
\( \displaystyle a(x^2+\frac{bx}{a})+c=0 \) （ただし、\(a ≠ 0\)とする）
\( \displaystyle a\{ (x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2 \} +c=0 \)（ここで平方完成を使う）
\( \displaystyle a (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a} +c=0 \)
\( \displaystyle a (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \)
\( \displaystyle a (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \)
\( \displaystyle (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\( \displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)（ただし、\(b^2-4ac \geq 0\)とする）
よって、\( \displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)（終）
たろぅなるほど…平方完成を使うのか。
二次方程式のxの係数が偶数の場合「b’を使った解の公式」
さて、では\(x\)の係数が偶数だった場合、解の公式はどのようになるでしょうか。
つまり、
\(ax^2+2b’x+c=0\)のときの解の公式は？
ということですね。
せんせ先ほどの解の公式にそのまま\(b=2b’\)を代入してみましょう。
\( \displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)に\(b=2b’\)を代入。
\( \displaystyle x=\frac{-2b’ \pm \sqrt{(2b’)^2-4ac}}{2a} \)
\( \displaystyle x=\frac{-2b’ \pm \sqrt{4b’^2-4ac}}{2a} \)
\( \displaystyle x=\frac{-2b’ \pm \sqrt{4(b’^2-ac)}}{2a} \)
\( \displaystyle x=\frac{-2b’ \pm 2\sqrt{b’^2-ac}}{2a} \)
\( \displaystyle x=\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a} \)
ということで、以下の「b’を使った解の公式」が得られます。
\(ax^2+2b’x+c=0\)のとき、\( \displaystyle x=\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a} \)
例．\(x\)の２次方程式\( x^2-2x-1=0\)を解け。
\( x^2+2 \cdot(-1) x-1=0\)とみることで、
\(a = 1\)、\(b’ = -1\)、\(c = -1\)として先ほどのb’を使った解の公式を使います。
\( \displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-1 \cdot (-1)}}{1} \)
\( \displaystyle x=1 \pm \sqrt{2} \)…（答）
ちなみに、普通の解の公式を使うと次のようになります。
\( \displaystyle x=\frac{2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \)
\( \displaystyle =\frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \)
\( \displaystyle x=1 \pm \sqrt{2} \)…（答）
圧倒的に手数、というか計算の楽さが違いますね。
解の公式と、xの係数が偶数のときの解の公式の注意点
こちらが本題です。
実は「解の公式」を使ったり、「b’を使った解の公式」を使う際の注意点もいくつかあります…。
せんせそれでは早速問題を解きながら、注意点を押さえていきましょう。
解の公式を使う？
問１．\(x\)の２次方程式\(x^2-4x+3=0\)を解け。
たろぅよっしゃ、さっきの公式だ！
（解答）
解の公式より、\( \displaystyle x=\frac{2 \pm \sqrt{2^2-1 \cdot 3}}{1} \)
\( x=2 \pm \sqrt{1} = 2 \pm 1\)
よって、\(x=3 , 1 \)…（答）
たろぅできました！
せんせ…。
（こっちの方が絶対いい、という別解）
\( x^2-4x+3=0 \)
\( (x-1)(x-3)=0 \)
よって\(x=1 , 3\)…（答）
たろぅ…。（因数分解できたのか）
これが１つ目の解の公式を使うときの注意点ですね。
「解の公式は万能！だからとりあえずこれを使ってればいいんでしょ？」という人がときどきいます。はっきり言ってその姿勢はキケンです。
なぜなら、数学は「考える」学問なのに、「万能」という性質で思考放棄しているからです。
よく、「これを覚えていればいいんですか？」という質問がきます。数学を解く上で１、２を争うくらいダメな質問だと思います。
数学や、もっと言うと現実世界には、ある程度万能といえるモノがありますが、数学を学ぶ上で重要なことは「条件や状況によって解法を変える思考力を養う」ということです。
これは早めに意識をしていかないと、数学を学ぶ意味が薄れてしまいます。きちんと条件や状況を考えて問題を解いていきましょう。
b’を使った解の公式は必要ない？
問２．\(x\)の２次方程式\(x^2-4x-3=0\)を解け。
たろぅよし、これは因数分解できないな。b’を使った解の公式だ！
（解答）
解の公式より、\( \displaystyle x=\frac{2 \pm \sqrt{2^2-1 \cdot(-3)}}{1} \)
\( x=2 \pm \sqrt{7}\)…（答）
たろぅ…。
せんせどうかしました？
たろぅb’を使った解の公式って簡単ですけど、使いにくい、というか…。わざわざ覚えなくてよくないですか？いつもの解の公式でも解けるんでしょ？
せんせまぁ、そうなんだけどねぇ…。
２つ目は「b’を使った解の公式」を使う際の注意点…というか、先程の「学ぶ姿勢」のお話です。
ここは個人的な主義・主張が入ってきますが、私は積極的にこの「b’を使った解の公式」を使った方がいいと思います。
教える人によっては「これは覚えなくていい」と言う人もいます。「正しく覚えていないと間違うから」というのがその主張で、まぁ間違ってはないです。
ですが、「b’を使った解の公式」は圧倒的に楽です。
「楽」＝「時間がかからない」「計算ミスが減る」ということです。
「新しいことを覚える」という苦労を回避して、いつまでも「時間をかけて、計算ミスの恐れがある手法」を取り続けるのか、「新しいことを覚える」という苦労をして、「時間と計算ミスを減らす有利」をとるのか…。
私は後者を取ります。もちろん、生徒にも「積極的にこちらを覚えて使いなさい」という指導をします。
実はもっと本質的な理由もあります。こちらにも書いていますので、ぜひ読んでください。
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さて、いつものようにいきなり問題ですが、 問．点\((2,3)\)を通る、傾き2の直線の方程式を求めてください。 この問題自体は全然難しくないはずです。おそらく中学生で…
解の公式を使うこんな問題がきたらどうするの？
せんせそりゃもちろん、普通の解の公式だけでもいいんですけどね…。
たろぅそうですよ、新しく覚えるの大変だし、間違って覚えてたら元も子もないでしょ？
せんせじゃあ、これ解いてみましょうか。
たろぅよし、b’を使った解の公式には頼らないぜ！
問３．\(x\)の２次方程式\(2x^2-6ax-3a^2+5a-2=0\)を解け。
たろぅ…ん？
せんせどうぞ。解いてください。
たろぅ…は、はい。えーっと、確認ですけど「\(a\)は定数」ということでよろしいでしょうか？
せんせ「\(x\)の２次方程式」と言ってますからね。「\(x\)が変数」「\(a\)が定数」のイメージでお願いします。
たろぅちょっと待ってくださいね…。
\(x^2\)の係数→\(2\)
\(x\)の係数→\(-6a\)
定数項→\(-3a^2+5a-2\)
か…。複雑だな。
（解答）
解の公式より、\( \displaystyle x=\frac{6a \pm \sqrt{(6a)^2-4 \cdot 2 \cdot (-3a^2+5a-2)}}{2 \cdot 2}\)
\( \displaystyle =\frac{6a \pm \sqrt{36a^2+24a^2+40a-16}}{4}\)
\( \displaystyle x=\frac{6a \pm \sqrt{60a^2+40a-16}}{4}\)…（答）
たろぅよし、なんとかできましたよ。合ってますか？
せんせぶっぶー！！ちがいまーす！！
たろぅ…。（ちくしょう。ムズカシイ問題出しやがって、いじわるめぇ…）
せんせルートの中身をまだ整理できますよ。
たろぅルートの中身はちょっと複雑すぎるな…。
\( \displaystyle x=\frac{6a \pm \sqrt{60a^2+40a-16}}{4}\)
\( \displaystyle =\frac{6a \pm \sqrt{4(15a^2+10a-4)}}{4}\)
\( \displaystyle =\frac{6a \pm 2\sqrt{15a^2+10a-4}}{4}\)
\( \displaystyle x=\frac{3a \pm \sqrt{15a^2+10a-4}}{2}\)…（答）
たろぅんー、結構大変だなぁ。
こういうときのためにも「b’を使った解の公式」は覚えておいた方がいいですね。「b’を使った解の公式」を使うと、
せんせ\(x^2\)の係数→\(2\)
\(x\)の係数→\(-3a\)
定数項→\(-3a^2+5a-2\)
ですね。
（解答）
解の公式より、\( \displaystyle x=\frac{3a \pm \sqrt{(3a)^2- 2 \cdot (-3a^2+5a-2)}}{2}\)
\( \displaystyle =\frac{3a \pm \sqrt{9a^2+6a^2+10a-4}}{2}\)
\( \displaystyle x=\frac{3a \pm \sqrt{15a^2+10a-4}}{2}\)…（答）
たろぅむ…。（計算はこっちの方が楽だな。）
方程式が複雑になればなるほど「b’を使った解の公式」は有利です。模試にもたまに出たりするので、覚えておいて損はないと思います。
ちゃんと覚えておかないといけない、という点に注意すれば、かなり楽な計算で済むので積極的に使っていきましょう。
xの係数が偶数のときの解の公式まとめ
「b’を使った解の公式」は計算がかなり楽です。正しく覚えて、積極的に使っていきましょう。
「b’を使った解の公式」は覚えなくてよい、という意見もありますが、それは「数学の問題を解く上で」という意味ですね。
確かにそれも一理あるのですが、我々は「ただ数学の問題が解ければいい」というスタンスで勉強をしていません。
「b’を使った解の公式」を覚えて使うことには一定の意味があるので、この記事を読んだ人は、ぜひ覚えて使ってほしいです。
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