ベータ関数とガンマ関数の関係【重積分から丁寧に】

（証明）

\(\displaystyle \Gamma (p) = \int_0^\infty t^{p-1} e^{-t} dt \)において、\(t=x^2\)とすると、

\(x: 0 \rightarrow \infty\)のとき、\(t: 0 \rightarrow \infty\)、

また、\(dt = 2x dx\)となるので、

\(\displaystyle \Gamma (p) = \int_0^\infty t^{p-1} e^{-t} dt \)

\(\displaystyle \quad = \int_0^\infty x^{2(p-1)} e^{-x^2} 2x dx \)

\(\displaystyle \quad = 2 \int_0^\infty x^{2p-1} e^{-x^2} dx \)…①

同様に、\(\displaystyle \Gamma (q) = \int_0^\infty s^{q-1} e^{-s} ds \)において、\(s=y^2\)とすると、

\(\displaystyle \Gamma (q) = 2 \int_0^\infty y^{2q-1} e^{-y^2} dy \)

よって、

\(\displaystyle \Gamma (p)\Gamma (q) = 4 \int_0^\infty x^{2p-1} e^{-x^2} dx\int_0^\infty y^{2q-1} e^{-y^2} dy \)

\(\displaystyle \quad = 4 \int_0^\infty \int_0^\infty x^{2p-1} e^{-x^2}y^{2q-1} e^{-y^2} dxdy\)

\(\displaystyle \quad = 4 \int_0^\infty \int_0^\infty x^{2p-1} y^{2q-1} e^{-(x^2+y^2)} dxdy\)

ここで、\(x=r \cos{\theta},y=r \sin{\theta}\)と置き換えると、\( \{ x:0 \to \infty,y:0 \to \infty \} \)の表す領域は\(r\)、\(\theta\)で表すと\( \{ r:0 \to \infty, \theta: 0 \to \frac{\pi}{2} \} \)、ヤコビアンは\(||J||=r\)なので、

\(dxdy = r dr d \theta\)

ゆえに、

\(\displaystyle \quad = 4 \int_0^\infty \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^{2p-1}\cos^{2p-1}\theta r^{2q-1} \sin^{2q-1}\theta e^{-r^2} r dr d \theta\)

\(\displaystyle \quad = 2 \int_0^\infty r^{2(p+q)-1}e^{-r^2} dr \cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d \theta\)

ここで、\(t=x^2\)と置換したガンマ関数\(\displaystyle \Gamma(p) = 2 \int_0^\infty x^{2p-1} e^{-x^2} dx\)（①参照）と、\(x=\sin^2\theta\)と置換したベータ関数\(\displaystyle B(p, q) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2p-1}\theta \cos^{2q-1}\theta d\theta \)＋ベータ関数の性質\(B(p,q)=B(q,p)\)（こちらのベータ関数の記事参照）の性質を使うと、

\(\displaystyle \quad = \Gamma(p+q) B(p,q)\)（←\( 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d \theta = B(q,p) = B(p,q) \)

以上から、

\(\displaystyle \Gamma (p)\Gamma (q)= \Gamma(p+q) B(p,q)\)

\(\displaystyle B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)（終）