ガンマ関数の計算方法と性質をわかりやすく解説【階乗の一般化！？】

計算…の前に、\(\displaystyle \Gamma (x+1) = \int_0^\infty t^{x} e^{-t} dt \)の積分区間の上端が\(\infty\)になっています。

これは広義積分と呼ばれている積分で簡単にいうと、\(\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_0^b t^{x} e^{-t} dt \)という感じで「定積分計算→極限計算」をします。

せんせ

それでは実際に積分をしていきましょう。

（計算）

\(\displaystyle \Gamma (x+1) = \int_0^\infty t^{x} e^{-t} dt \)

\(\displaystyle \quad = \left[ t^{x}(-e^{-t}) \right]_0^\infty – \int_0^\infty xt^{x-1}(- e^{-t}) dt\)（←積分段階では\(x\)は定数であることに注意）

\(\displaystyle \quad = x\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t} dt\)（←\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} t^{x}e^{-t}=0\)を使った。）

\(\displaystyle \quad = x \Gamma (x) \)

\(\displaystyle \Gamma (x+1) = x \Gamma (x) \)

（証明）

\(\displaystyle \Gamma (1) = \int_0^\infty t^{0} e^{-t} dt \)

\(\displaystyle \quad = \left[ -e^{-t} \right]_0^\infty = 0 – (-1)=1 \)

\(\displaystyle \Gamma (x+1) = x \Gamma (x) \)より、\(\displaystyle \Gamma (n+1) = n \Gamma (n) \)なので、

\(\displaystyle \Gamma (n+1) = n \Gamma (n) = n (n-1)\Gamma(n-1) \)

\(\quad = \dots = n(n-1)(n-2)\cdots\cdot1\Gamma(1)=n!\)

（計算）

\(\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}} e^{-t} dt \)

\(t=x^2\)とおくと、\(t: 0 \to \infty\)のとき\(x: 0 \to \infty\)、

また、\(dt = 2xdx \)なので、

\(\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^\infty x^{-1} e^{-x^2} 2xdx \)

\(\displaystyle \quad = 2 \int_0^\infty e^{-x^2}dx \)

\(\displaystyle \quad = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \)（←\(e^{-x^2}\)は偶関数）

\(\displaystyle \quad = \sqrt{\pi} \)（←ガウス積分\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}=\sqrt{\pi} \)の計算結果を使った。）

（計算）

ガンマ関数の性質①\(\displaystyle \Gamma (x+1) = x \Gamma (x) \)を上手く使います。

\(\displaystyle \Gamma\left( \frac{3}{2} \right) = \Gamma\left( \frac{1}{2}+1 \right) = \frac{1}{2}\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)