数列の練習問題まとめ【基本から応用まで・無料で解答付き】

【解説】

等差数列の一般項は\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_{10}=5+(10-1)\times3=5+27=32\)。

せんせ

「一般項を出す」というのは基本中の基本！
しっかり押さえておきましょう

【解説】

公比が1でない等比数列の和は\(\displaystyle S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\)。

\(\displaystyle S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=3\times31=93\)。

せんせ

「数列の和を求める」というのもよくやります！
基本的な公式は覚えておきましょう

【解説】

シグマの性質を使ってばらばらに分解します。

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=2 \sum_{k=1}^{n}k- \sum_{k=1}^{n}1=2\times\frac{n(n+1)}{2}-n=n(n+1)-n=n^2+n-n=n^2\)

1から始まる奇数を順に足していくと、いつも「個数の2乗」になる、というキレイな結果です！

せんせ

覚えておく必要はありませんが、有名な性質ですね。
とにかくシグマ記号は意味と公式を押さえておきましょう！

【解説】

\(a_{n+1}-a_n=3n\)なので、階差数列は\(b_n=3n\)。\(n\ge2\)のとき

\(\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}3k=2+3\times\frac{(n-1)n}{2}=2+\frac{3n^2-3n}{2}=\frac{3n^2-3n+4}{2}\)

この式に\(n=1\)を代入すると\(\displaystyle \frac{3-3+4}{2}=2\)となり\(a_1=2\)と一致する。

せんせ

階差数列の公式は本来\(n\ge2\)でしか作れないので、最後に\(n=1\)で成り立つか必ず確認しましょう（実は形式的なものではありますが、記述として書く必要はあります）