二次不等式の練習問題まとめ【基本から応用まで・無料で解答付き】

【解説】
左辺を因数分解すると \((x-2)(x+2)\le 0\)。

下に凸の放物線が0以下になるのは2つの解の間なので、\(-2\le x\le 2\)。

【解説】
左辺を因数分解すると \((x-2)(x-3)>0\)。

下に凸の放物線が0より大きくなるのは2つの解の外側なので、\(x<2\) または \(x>3\)。

【解説】
解の公式より \(x^2-2x-4=0\) の解は \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=1\pm\sqrt5\)

下に凸の放物線がこの2つの解の間で0以下になるので、\(1-\sqrt5 \le x \le 1+\sqrt5\)。

【解説】
\(y=x^2-2ax+a+2\) は \(x^2\) の係数が正なので下に凸の放物線。

すべての実数 \(x\) について \(y>0\) となるための必要十分条件は、この放物線が \(x\) 軸と共有点を持たないこと、すなわち判別式が負であることである。

判別式を \(D\) とすると \(\dfrac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)\)。

\(\dfrac{D}{4}<0\) より \((a-2)(a+1)<0\) を解いて \(-1<a<2\)。