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三角比の練習問題まとめ【基本から応用まで・無料で解答付き】
三角比は、
せんせsin・cos・tanってこうだよ。だから値を覚えてね
たろぅなにそれ？コイツ、そもそもなんなん？意味わからん
となりがちな分野です。
そのあたりはコチラの記事やコチラの記事で説明していますが、まぁ「三角比の値を覚える」とか「正弦定理、余弦定理を覚えて使う」とか、とりあえず練習が必要な分野であることは確かです。
ここでは基本から応用まで段階的に解ける練習問題をまとめました。まずは自分の力で解いてみて、解答と照らし合わせてみてください。
たろぅこの記事では三角比の練習が解説付きでできますよ！
正弦定理と余弦定理、どちらを使うべきかを意識しながら解いてみましょう！
目次
基本編
問題1：三角比の基本の値
\(\sin60°\)、\(\cos60°\)、\(\tan60°\) の値をそれぞれ求めなさい。
解答・解説
解答：\(\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\cos60°=\dfrac{1}{2}\)、\(\tan60°=\sqrt3\)
【解説】
1辺2、他の2辺1と\(\sqrt3\)の直角三角形(30°,60°,90°の三角形)を思い浮かべると、60°の角に対して対辺\(\sqrt3\)・隣辺1・斜辺2なので、\(\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\cos60°=\dfrac{1}{2}\)、\(\tan60°=\dfrac{\sqrt3}{1}=\sqrt3\)。
せんせいっても有名角の三角比はサッと出てこないとお話になりませんよ！
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問題2：正弦定理の基本
三角形ABCにおいて、\(\angle A=30°\)、\(\angle B=45°\)、辺\(BC=4\)のとき、辺\(CA\)の長さを求めなさい。
解答・解説
解答：\(4\sqrt2\)
【解説】正弦定理\(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{CA}{\sin B}\)より、\(CA=\dfrac{BC\times\sin B}{\sin A}=\dfrac{4\times\sin45°}{\sin30°}=\dfrac{4\times\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=4\sqrt2\)。
標準編
問題3：余弦定理で辺の長さを求める
三角形ABCにおいて、\(AB=5\)、\(AC=7\)、\(\angle A=60°\)のとき、辺\(BC\)の長さを求めなさい。
解答・解説
解答：\(BC=\sqrt{39}\)
【解説】「2辺とその間の角」がわかっているので余弦定理を使う。
\(BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos A=25+49-2\times5\times7\times\dfrac12=74-35=39\)
よって\(BC=\sqrt{39}\)。
せんせ「向かい合う角がわからない2辺と、その間の角」がわかっているときは余弦定理、というのが使い分けの合図です！
発展編
問題4：余弦定理から角度と面積を求める
三角形ABCにおいて、\(AB=5\)、\(BC=7\)、\(CA=3\)であるとき、\(\angle A\)の大きさと三角形ABCの面積を求めなさい。
解答・解説
解答：\(\angle A=120°\)、面積\(=\dfrac{15\sqrt3}{4}\)
【解説】まず余弦定理を角度を求める形に変形して\(\cos A\)を求める。
\(\cos A=\dfrac{AB^2+CA^2-BC^2}{2\times AB\times CA}=\dfrac{25+9-49}{2\times5\times3}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac12\)
\(0°<A<180°\)の範囲で\(\cos A=-\dfrac12\)となるのは\(A=120°\)。
面積は\(S=\dfrac12\times AB\times CA\times\sin A=\dfrac12\times5\times3\times\sin120°=\dfrac{15}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{15\sqrt3}{4}\)。
せんせ\(\cos A\)が負の数になったら、\(A\)は鈍角(90°より大きい角)というサインです！
計算の答えが変な数になったと焦らず、鈍角の可能性を疑ってみましょう
もっと解きたい人へ
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正弦定理・余弦定理の使い分けを確認したい人は、こちらの記事で詳しく解説しています。
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