二次方程式の練習問題まとめ【基本から応用まで・無料で解答付き】

2026年11月5日

二次方程式は、因数分解・解の公式・判別式と、色々なパターンがあります。しかも、それぞれが他の単元に繋がっていく基本であり、高校数学を進めていく上のベースになっていきます。

「とりあえず解の公式に代入すればいい」で終わらせず、因数分解できる形を見抜く力などもセットで身につけておきたいところです。

二次方程式を解く力は、二次関数のグラフとx軸との交点を求めるときにそのまま使うので、二次関数と表裏一体の単元でもあります。

ここでは基本から応用まで段階的に解ける練習問題をまとめました。まずは自分の力で解いてみて、解答と照らし合わせてみてください。

たろぅ

この記事では二次方程式の練習が解説付きでできますよ！
因数分解と解の公式、どちらも使えるようにしておきましょう！

基本編

問題1：因数分解で解く二次方程式

2次方程式 \(x^2-5x+6=0\) を解きなさい。

解答・解説

解答：\(x=2, 3\)

【解説】
左辺を因数分解すると \((x-2)(x-3)=0\)。積が0になるのはどちらかが0のときなので、\(x=2\) または \(x=3\)。

問題2：たすき掛けが必要な二次方程式

2次方程式 \(2x^2+3x-2=0\) を解きなさい。

解答・解説

解答：\(x=\dfrac{1}{2}, -2\)

【解説】
たすき掛けで因数分解すると \((2x-1)(x+2)=0\)。よって \(2x-1=0\) より \(x=\dfrac{1}{2}\)、\(x+2=0\) より \(x=-2\)。

標準編

問題3：解の公式を使う二次方程式

2次方程式 \(x^2-4x+1=0\) を、解の公式を用いて解きなさい。

解答・解説

解答：\(x=2\pm\sqrt3\)

【解説】
解の公式 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) に \(a=1,b=-4,c=1\) を代入する。

\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3\)

せんせ

解の公式は最終手段！２次方程式の解き方の基本はあくまで因数分解！
そこの優先順位は間違えないように！

発展編

問題4：文字係数を含む二次方程式（構造を見抜く）

\(k\) を定数とする。2次方程式 \(x^2-(k+1)x+k=0\) は、\(k\) がどんな実数の値であっても常に実数解を持つことを示し、その解を求めよ。

解答・解説

解答：\(x=1, k\)

【解説】
判別式を計算する前に、左辺が直接因数分解できないか確認してみる。

\(x^2-(k+1)x+k=(x-1)(x-k)\) と因数分解できる(展開すると \(x^2-kx-x+k=x^2-(k+1)x+k\) となり一致する)。

よって \((x-1)(x-k)=0\) より \(x=1\) または \(x=k\)。\(k\) は実数なので \(x=k\) も必ず実数となり、この方程式は \(k\) の値に関わらず常に実数解を持つ。

せんせ

文字係数が入ると反射的に判別式を計算したくなりますが、まず因数分解できないか一度疑ってみる癖をつけると計算がグッと楽になりますよ！
「解を持つ」って話なんだから
・そもそも因数分解ができれば早くね？
・解自体が欲しいわけじゃないんだから判別式がいいんじゃね？
このあたりの判断力ですよね。
今回は「その解を求めよ」って問題文があるから「そもそも解が出せるのでは？」というところまでイメージできれば因数分解してみようか、って流れになります。
ちなみに \(k=1\) のときは \(x=1\) の重解になります

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