二次関数で判別式を使う時って？【二次関数と判別式の関係を徹底解説！】

例．\( y = x^2 -ax + a+3\)のグラフと\(x\)軸との交点の個数を求めよ。

（解答）

判別式\(D = a^2 – 4 \cdot 1 \cdot (a+3) = a^2 -4a-12=(a+2)(a-6)\)

よって、

\(D > 0\)つまり\(a<-2,6<a\)のとき、交点は2個
\(D = 0\)つまり\(a=-2,6\)のとき、交点は1個
\(D < 0\)つまり\(-2<a<6\)のとき、交点は0個　…（答）

（解答）

二次方程式\( x^2 -ax + a+3 = 0\)の判別式を\(D\)とする。

判別式\(D = a^2 – 4 \cdot 1 \cdot (a+3) = a^2 -4a-12=(a+2)(a-6)\)

よって、

\(D > 0\)つまり\(a<-2,6<a\)のとき、交点は2個
\(D = 0\)つまり\(a=-2,6\)のとき、交点は1個
\(D < 0\)つまり\(-2<a<6\)のとき、交点は0個　…（答）

（考え方）

まず「交点の個数」と言っていますが、そこを一歩踏み込んで「交点の座標を求める」ことを考えてみましょう。

交点の座標を求めるためには２つのグラフを表す関数を連立してあげる必要があります。連立には「同時に満たす値を求める」という意味があるからです。これが交点（同時に満たす点）の意味と一致します。

つまり、正確に言うと、関数\(y=x^2 -ax + a+3\)と\(y=0\)（\(x\)軸）を連立した

\(\begin{cases}
y= x^2 -ax + a+3\\
y = 0
\end{cases}\)

つまり、二次方程式\( x^2 -ax + a+3 = 0\)を解けばグラフの交点の\(x\)座標を求めることができます。

ただし、今回は「交点の個数」が必要なだけなので判別式だけで十分です。

なぜなら、「実数解の個数」＝「交点の\(x\)座標の個数」＝「交点の個数」となるからです。

せんせ

この
「二次関数の交点の\(x\)座標↔二次方程式の解」
「二次関数の交点の個数↔二次方程式の実数解の個数」
という関数と方程式の言い換えをしっかりと意識してください！

（解答）

二次方程式\( x^2 -ax + a+3 = 0\)の判別式を\(D\)とする。（←交点を求めるために連立した二次方程式を考える）

判別式\(D = a^2 – 4 \cdot 1 \cdot (a+3) = a^2 -4a-12=(a+2)(a-6)\)

よって、

\(D > 0\)つまり\(a<-2,6<a\)のとき、交点は2個
\(D = 0\)つまり\(a=-2,6\)のとき、交点は1個
\(D < 0\)つまり\(-2<a<6\)のとき、交点は0個

（↑二次方程式の実数解の個数＝交点の\(x\)座標の個数＝交点の個数）

　…（答）

これは先程の問題の話がわかっていれば大丈夫です。

勢い余って「\(x^2+2ax+a=0\)の判別式を\(D\)とする…」として話を進めないようにしましょう。

（解答）

\(y=x^2+2ax+a\)と\(y=2x+1\)を連立して、

\(x^2+2ax+a=2x+1\)
\(x^2+2(a-1)x+a-1=0\)…①

この二次方程式の実数解の個数と２つのグラフの交点の個数は一致します。

①の判別式を\(D\)とすると、\(D/4=(a-1)^2-1\cdot (a-1) = (a-1)(a-2)\)

よって、

\(D/4 > 0\)つまり\(a<1,2<a\)のとき、交点は2個
\(D/4 = 0\)つまり\(a=1,2\)のとき、交点は1個
\(D/4 < 0\)つまり\(1<a<2\)のとき、交点は0個　…（答）

今まではグラフの交点の話を方程式にもっていっていましたが、今度は逆パターンです。

二次方程式が単純に「異なる２つの実数解を持つような\(a\)の値の範囲」と言われれば判別式だけで十分ですが、今回のように「\(x \geq 0\)で」という条件がつくとなると話が別です。

例えば、異なる２つの解が\(x = -1,2\)などでは「\(x \geq 0\)で」という条件を満たさないからです。

ではどうするか？というと、グラフ（関数）の力を借ります。方程式の解を直接調べるのはかなり大変だからです。

ここでも「方程式↔グラフ（関数）」の言い換えを上手く利用していきます。

少し具体的に言い換えを説明すると「\(y = x^2-(a+2)x-2a+1\)と\(x\)軸が\(x \geq 0 \)で異なる２点で交わればよい」ということになります。

せんせ

この問題を「解の配置問題」といいます。二次関数の応用問題としては定番ですね！この「解の配置問題」はグラフのパターンをイメージしつつ、以下の３点を考えましょう。条件によっては①だけで済むこともあります。

（解答）

\(x^2-(a+2)x-2a+1 = 0\)の判別式を\(D\)、\(f(x) = x^2-(a+2)x-2a+1\)とおくと、以下の３つの条件を満たせばよい。

\(\begin{cases}
f(0) \geq 0 \cdots ①\\
D > 0 \cdots ②\\
(軸) > 0 \cdots ③
\end{cases}\)

①より、\(-2a+1 \geq 0 \)、よって\(\displaystyle a \leq \frac{1}{2}\)…①’

②より、\(D = \{ -(a+2) \}^2 -4(-2a+1) > 0\)
\(a^2 + 12a > 0\)
\(a(a+12) > 0\)、よって\(a < -12, 0 < a\)…②’

③より、\(\displaystyle (軸)= \frac{a+2}{2} > 0 \)、よって\(a > -2 \)…③’

①’、②’、③’から、\(\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{2}\) …（答）