標準正規分布とは【正規分布との関係と標準正規分布表の見方を丁寧に説明】

こちらの記事で、世の中の現象は「二項分布」や「正規分布」と見なせるものが多い、という話をしました。

ですが、「二項分布」や「正規分布」はそのままでは計算しづらいので、標準正規分布に変換（標準化）して確率を求めたり、推定や検定を行っていきます。

この記事では、標準正規分布の説明と、正規分布との関係、標準正規分布表の見方・使い方についてまとめていきます。

そもそも標準正規分布とは？

標準正規分布は平均0、分散1の正規分布のことです。

つまり、\(N(0,1)\)のことですね。山がちょうど0のところにきます。

正規分布\(N(m,\sigma ^2)\)の確率密度関数\(\displaystyle f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(X-m)^2}{2\sigma ^2}}\)を\(m=0\)、\(\sigma = 1\)にしたものですね。

重要なことは、この標準正規分布が「平均0、分散1」でバランスよく固定された、とても都合のいい形だ、ということですね。

そして、この標準正規分布がとる確率は既に調べられていて、表になっています。

つまり、「ある正規分布に従う確率変数について調べたい！」というときには、以下の流れで標準正規分布を利用していきます。

「正規分布を標準正規分布に変換（標準化）」→「標準正規分布表を使って、確率を求めたり推定や検定を行う」

正規分布を標準化する

では、正規分布に従う確率変数\(X\)を標準正規分布に従うように変数変換、つまり標準化します。

この変数変換で、正規分布\(N(m,\sigma)\)に従う\(X\)が、平均0・分散1の変数\(Z\)になります！

標準正規分布表の見方

正規分布を標準化したら、標準正規分布表を使って確率を求める作業などをしていきます。

標準正規分布表は２種類あります。

また、標準正規分布は左右対称なので、0以上の確率変数（分布の山の右側の裾）のみ与えられます。0以下の確率変数はひっくり返したときに該当する0以上の確率変数を使って読んでいきます。

あとは、パズルのように確率を足し引きしながら欲しい確率を求めていきます。

ちなみに、スプレッドシートで標準正規分布表を作ってみましたので、使いたい人はどうぞ！PDF形式です。

標準正規分布表（上側確率）・標準正規分布表（教科書・共通テストの形式）

まとめ

標準正規分布と標準正規分布表の使い方の説明でした。

標準正規分布表の使い方はもちろん重要ですが、その前の標準化の式、

\(\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}\)

は色々なところに顔を出すのでしっかり押さえていきましょう。

正規分布から標準正規分布に標準化して確率を求めたり推定をすることはよくあるので、まずはこの標準正規分布に慣れていきましょう！