二項分布とは？期待値や分散についても丁寧に説明

コイン投げを５回繰り返して、表が出る回数を\(X\)とします。この\(X\)の確率分布と期待値、分散まで考えましょう。

（解）コイン投げを５回繰り返して、表が出る回数を\(X\)とします。

\(X\)の取りうる値は、0、1、2、3、4、5です。

それぞれの確率は、

\(X=0\)のとき、\(\displaystyle P(0) = \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \frac{1}{32}\)

\(X=1\)のとき、\(\displaystyle P(1) = _5C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{4} = \frac{5}{32}\)

\(X=2\)のとき、\(\displaystyle P(2) = _{5}C_2 \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{10}{32}\)

\(X=3\)のとき、\(\displaystyle P(3) = _{5}C_3 \left( \frac{1}{2} \right)^{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{10}{32}\)

\(X=4\)のとき、\(\displaystyle P(4) = _{5}C_4 \left( \frac{1}{2} \right)^{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{1} = \frac{5}{32}\)

\(X=5\)のとき、\(\displaystyle P(5) = \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \frac{1}{32}\)

よって、確率分布は次のようになります。

ゆえに、期待値\(E(X)\)は

\(\displaystyle E(X)=0\cdot \frac{1}{32}+1\cdot \frac{5}{32}+2\cdot \frac{10}{32}+3\cdot \frac{10}{32}\)

\(\displaystyle \quad\quad +4 \cdot \frac{5}{32} +5\cdot \frac{1}{32}\)

たろぅ

（う…やっぱり面倒だな…。なんか授業で他のやり方習った気もするけど…とりあえず計算するか）

\(\displaystyle \quad = \frac{5+20+30+20+5}{32}=\frac{80}{32}=\frac{5}{2}\)…（答）

また、\(\displaystyle E(X^2)=0^2\cdot \frac{1}{32}+1^2 \cdot \frac{5}{32}+2^2 \cdot \frac{10}{32}+3^2 \cdot \frac{10}{32}\)

\(\displaystyle \quad\quad +4^2 \cdot \frac{5}{32} +5^2\cdot \frac{1}{32}\)

\(\displaystyle \quad = \frac{5+40+90+80+25}{32}=\frac{240}{32}=\frac{15}{2}\)

したがって、分散\(V(X)\)は

\(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{ E(X) \}^2=\frac{15}{2}- \left( \frac{5}{2} \right)^2\)

\(\displaystyle \quad = \frac{15}{2}-\frac{25}{4}=\frac{5}{4}\)…（答）

（解）

１回の試行で表が出る確率は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので、この試行は、

二項分布\(\displaystyle B(5,\frac{1}{2})\)に従う。

よって、期待値\(E(X)\)は

\(\displaystyle E(X)=5 \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)…（答）

分散\(V(X)\)は

\(\displaystyle V(X)=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( 1-\frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}\)…（答）

まずは、期待値が\(E(X)=np\)となることを示します。

コチラで説明した確率変数の和の期待値の性質を使います。

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（証）

二項分布の確率変数\(X\)の意味は、

「その\(n\)回の試行でそれが何回起きるか？」です。つまり\(X\)は\(X=0, 1, 2, \cdots, n\)の値を取りうる、ということになります。

そして、重要な考え方は「\(X\)は1回目の試行から\(n\)回目の試行までのそれぞれの確率変数\(X_i\)（\(i=0, 1, 2, \cdots, n\)、それぞれの\(X_i\)が取りうる値は0か1です。）を足して作ることができる」ということです。

つまり、\(X=X_1+X_2+\cdots+X_n\)で表現できることがポイントです。

せんせ

ここ、重要です！はっきり言って、ここが理解できればあとは難しくないです。

ここさえ納得できれば、

各\(X_i\)について、各期待値\(E(X_i)=0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p\)となるので、

\(E(X)=E(X_1+X_2+\cdots+X_n)\)

\(\quad =E(X_1)+E(X_2)+\cdots + E(X_n)\)

\(\quad = p+p+\cdots + p=np\)（終）

となります。

続いて、分散\(V(X)\)についてですが、同様に、各\(V(X_i)\)について、

\(V(X_i)=E(X_i^2)-\{E(X_i)\}^2=0^2\cdot(1-p)+1^2\cdot p -p^2\)

\(\quad = p-p^2=p(1-p)\)

ここで、１回目の確率変数\(X_1\)、２回目の確率変数\(X_2\)、…、\(n\)回目の確率変数\(X_n\)は独立なので、こちらで説明した通り、

\(V(X)=V(X_1+X_2+\cdots +X_n)\)

\(\quad = V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n)\)

が成り立ちます。ここで、各\(V(X_i)=p(1-p)\)なので、

\(V(X)=np(1-p)\)（終）