確率変数の和の分散はどうなる？必要な条件も解説

2022年10月8日2023年7月2日

確率変数の分散についてはこちらで解説をしました。

確率変数の和の分散

せんせ

…。

たろぅ

（コソコソ…）

せんせ

なにをコソコソしてるんですか？

たろぅ

（ビクッ！！）いえ、なんか僕の「せんせいに捕まるんじゃないか」センサーが反応しまして…。

せんせ

その通りです。さっきの時間は途中で「ハチが教室に入ってくる騒動」が起きたのでろくに授業ができませんでした。よって、放課後補習です。皆に伝えといてください。

たろぅ

いやですよぅ…補習なんて…。

せんせ

キリが悪いんですよ。すぐに済むので、放課後すぐに補習しますよ。

たろぅ

はーい…。確か「確率変数の和の分散」でしたよね？

ということで、今回はあまり沢山やりません。今後に繋がる「確率変数の和の分散」の話です。

確率変数の和の分散がどうなるか？を確認して証明します。

せんせ

確率変数の条件も必要になるので、そこだけは注意をしておいてください。

確率変数の和の分散

確率変数\(X\)と\(Y\)について、\(X\)と\(Y\)は独立であるとする。

\(X\)の分散を \(V(X)\)、\(Y\)の分散を \(V(Y)\)とすると、\(X+Y\)の分散\(V(X+Y)\)は

\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

となる。

たろぅ

ん…？これだけ？なんだか結果も当たり前な感じがするんですが…。

せんせ

これだけです！でも結果は実は当たり前ではありません。証明もしますが、今回の話は「次につながる前哨戦」。いわば前菜のようなものだと思っておいてください。

「\(X\)と\(Y\)は独立である」ことが重要です。「変数の独立」についてはこちら。

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（証）

\(V(X+Y)=E((X+Y)^2-\{ E(X+Y) \}^2\)（←この計算方法についてはこちらをご覧ください。）

\(\quad = E(X^2+2XY+Y^2)-\{ E(X)+E(Y) \}^2\)

\(\quad = E(X^2) + E(2XY) + E(Y^2)-\{ E(X) \}^2-2E(X)E(Y)- \{ E(Y) \}^2\)

\(\quad = E(X^2) + 2E(X)E(Y) + E(Y^2)-\{ E(X) \}^2-2E(X)E(Y)- \{ E(Y) \}^2\)（←ここで「独立」が効いてくる。独立じゃないと\(E(XY)=E(X)E(Y)\)と変形できない。）

\(\quad = E(X^2)-\{ E(X) \}^2 + E(Y^2)- \{ E(Y) \}^2\)

\(\quad = V(X) + V(Y)\)（終）

たろぅ

はぁ…独立じゃないと計算途中で上手く変形できないんですね。

せんせ

そうです。ですので、この確率変数の和の分散は当たり前のように見えるんですが、実は独立でないと、この変形はできないと知っておいてください。

まとめ

今回は次に繋がる「確率変数の和の分散」がどうなるか？について説明しました。

これで、統計の話をする前段階の基本的なツールは揃いました！

次回からはいよいよ統計の基本「二項分布」について説明していきます。