確率変数って?わかりそうでわからない「確率変数」の意味を例で説明

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統計の勉強を始めたらおそらくその日のうちに出てくるであろう「確率変数」

慣れてしまえば「あぁ、そんなもんか…」と思うのですが、最初、少しわかりにくいのでイメージを掴みやすいように解説していきます。

せんせ

今回はちょっと短めです。

目次

確率変数とは?

確率変数とは、その変数の値(や値の範囲)と確率を対応づけすることができるような変数です。当然ですが、確率変数はどんな事象を考えているのか?どんなルールで変数を決めるのか?によって変数のとる値が変わってきます。

たろぅ

?日本語を喋っていただけると助かります…。

せんせ

確率変数の考え方は、とにかく例を見てくれた方がわかりやすいですね!

確率変数の例「サイコロ」

せんせ

質問です。サイコロの目はどんな値が出る可能性がありますか?

たろぅ

普通の六面体のヤツなら1〜6ですね。

例えば「サイコロの出る目」を\(X\)とすると、\(X=1, 2, 3, 4, 5, 6\)となる確率変数として扱うことができます。

せんせ

ちなみに\(X\)となる確率を\(P(X)\)と書きます。
表をかいて確認してみましょう。

\(X\)123456
\(P(X)\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)1

確かに、各確率変数の値と確率が対応づけされていますね。ですので、この\(X\)は確率変数として扱うことができます。

ちなみに、このような確率変数とその確率を対応させた表を「確率分布」といいます。

たろぅ

なるほど、その事象の取りうる値を確率変数、というんですね。

せんせ

んー…必ずしもそうとは限りませんけどね。
例えば、次のようなゲームをしたとしましょうか。

サイコロを投げて、偶数の目が出たらその目の100倍の賞金をもらえる。奇数が出たら賞金は0である。

せんせ

この賞金も確率変数として扱うことができます。

たろぅ

あぁ…確かにサイコロの目が直接、変数の値になるわけではないですね。

このゲームの場合賞金を確率変数\(X\)とすると、\(X\)の取りうる値は、偶数の100倍と、奇数が出たときの0なので、\(X=0, 200, 400, 600\)となりますよね?

これも立派な確率変数です。

\(X\)0200400600
\(P(X)\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)1

こんな感じで各確率変数と確率が対応づけできますね。

せんせ

確率変数0となる確率は「奇数が出る確率」なので\(\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)ですね。

確率変数「コイン」

せんせ

あとは、よくやるのが「コインの表が出るか、裏が出るか」みたいな試行ですね。

たろぅ

表とか裏とかって数字じゃないじゃないですか…。

\(X\)表?裏?
\(P(X)\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)1
せんせ

こういうときは、表→「1」、裏→「0」という感じで数値を対応させることが多いですね。

\(X\)10
\(P(X)\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)1

あくまで「変数」ですからね。数値と確率を対応させてやりたい、というのと、先ほどのサイコロゲームのように対応づけできれば確率変数は比較的自由に設定できる、というのは覚えておいてください。

たろぅ

なるほど。

せんせ

ちなみに、この確率変数の設定の方法は二項分布でよく使いますね。

まとめ

「確率変数の考え方」のイメージを例を使って説明しました。

勉強を進めていけば「確率変数って、なんとなくこういうことかな?」というのがわかるのですが、ちょっとした疑問も出てくると思いますので、これらの例を見ながら今のうちに「確率変数」の考え方に慣れていきましょう!

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