確率変数の期待値（平均）とは？計算方法や変数変換aX+bでどうなるかを説明

ゲーム

１００本のくじの中に当たりが２本入っている。その他はすべてハズレである。当たりが出れば１万円の賞金がもらえて、ハズレが出れば賞金は０円である。一回で一本のくじを引いて、高額賞金を当てよう！

参加料：１回５００円

先ほどのゲームの確率分布は次のようになります。

よって、期待値\(E(X)\)は次のようになります。

\(\displaystyle E(X) = 0 \cdot \frac{98}{100} + 10000 \cdot \frac{2}{100}\)
\( \quad = 200\)

つまり、確率変数（＝賞金）の期待値（＝平均）は200円となります。

（証明）

このとき期待値は\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)となります。

これを\(X\)→\(aX+b\)と変数変換すると、確率分布は次のようになります。

それぞれの確率については変化はありません。

このとき、期待値\(E(aX+b)\)は、

\(E(aX+b) = (ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2+\cdots+(ax_n+b)p_n\)

\(\quad = ax_1p_1+\cdots+ax_np_n+bp_1+\cdots+bp_n\)（←展開して項を入れ替えた）

\(\quad = a(x_1p_1+\cdots+x_np_n)+b(p_1+\cdots+p_n)\)

\(\quad = a E(X) +b\)（←\(x_1p_1+\cdots+x_np_n=E(X)\)、\(p_1+\cdots+p_n=1\)なので）

よって、\(E(aX+b) = a E(X) +b\)（終）

例１．

先ほどのゲームの賞金を全て２倍にします（といっても０は２倍しても０ですが）

すると、元の期待値は\(E(X)=200\)なので\(E(2X)=2\cdot 200 = 400\)となります。

実際、確率分布は次のようになるので

\(\displaystyle E(2X) = 0 \cdot \frac{98}{100} + 20000 \cdot \frac{2}{100}\)
\( \quad = 400\)

と計算でき、確かに変数変換で計算できています。

例２．

次は先ほどのゲームの賞金に、参加賞として全ての確率変数に＋１００円します。つまり、ハズレでも１００円、当たりなら１万１００円の賞金になります。

すると、元の期待値は\(E(X)=200\)なので\(E(X+100)=200+100 = 300\)となります。

実際、確率分布は次のようになるので

\(\displaystyle E(X+100) = 100 \cdot \frac{98}{100} + 10100 \cdot \frac{2}{100}\)
\( \quad = 98+202= 300\)

と計算でき、確かに変数変換で計算できています。