正規分布とは?【例もあげながら統計初心者でもわかりやすく丁寧に説明!】

PR

正規分布…統計ではずせない確率分布の一つです。

簡単に説明すると、真ん中の確率が大きく、左右対称に広がっていく確率分布のことです。

たろぅ

なんのこっちゃ…正規分布のなにが重要なんじゃい…。

という人のために、この記事では正規分布で押さえておくべき点について説明していきます。

目次

正規分布とは?

たろぅ

…はなこさんの方が大きいと思う。

はなこ

そんなことない、一緒よ。

たろぅ

…いや、やっぱりはなこさんのドーナツの方が大きい。

はなこ

いや…大体全部同じだって…。

たろぅ

いや!絶対ぼくの方が小さい!そもそも、このドーナツ一番小さい気がする!

はなこ

…。

たろぅ

こうなったらドーナツを徹底的に調べてやるぅ!100個買ってきて平均と分散調べて自分のドーナツが平均的なヤツより小さいことを証明してやるんだぁ!!

はなこ

めんどくせぇヤツだな!

ということで、今回のテーマは正規分布です。世の中の様々な現象はこの正規分布に従うことが多いです。ドーナツの重さも(恐らく)正規分布に従います。

この正規分布、平均が山の頂上にきていて、その山から離れるほど確率が0に近づく、左右対称の確率密度関数をもつ分布です。

せんせ

言葉で説明するとわかりにくい!こんな確率密度関数をもつ分布のことです!

正規分布1

いわゆる「釣鐘(つりがね)型」と言われる形です!あまり釣鐘には見えませんが!

とてもシンプルで自然な確率密度関数ですね。平均の確率変数の確率が一番大きく、そこから離れるにつれて確率が小さくなります。

「山が一つで左右対称。」

これが正規分布の特徴です。

正規分布は「山が一つで左右対称」という特徴を持ちますが、この特徴を維持しつつ、2つの要素によって位置と形が変わります。

その二つの要素は平均分散です。

確率変数\(X\)が、平均\(m\)、分散\(\sigma ^2\)の正規分布に従うとき、「正規分布\(N(m, \sigma ^2)\)に従う」と書きます

正規分布2
せんせ

ちなみに、確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma ^2)\)に従うとき、確率密度関数は次のようになります。

確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma ^2)\)に従うとき、確率密度関数\(f(X)\)は、

\(\displaystyle f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(X-m)^2}{2\sigma ^2}}\)

となる。\(e\)は自然対数の底(ネイピア数)と言われる無理数で、\(e=2.7182\cdots\)という値です。

たろぅ

……。

言いたいことはわかります。ですが、安心してください。この確率密度関数を覚える必要はありません。

たろぅ

(ホッ…)

あくまでこういう確率密度関数になるよという紹介で、これを使って何か問題を解く、ということはありません

ここで覚えておかないといけないことは、

  • 確率変数\(X\)が、平均\(m\)、分散\(\sigma ^2\)の正規分布に従うとき、「正規分布\(N(m, \sigma ^2)\)に従う」と書く。
  • 形は釣鐘型で平均\(m\)と分散\(\sigma ^2\)の値によって、位置と形が変わる。

という点です。

せんせ

意外と正規分布で覚えておくことは少ないですが、次に話す標準正規分布への変換はできないといけません。

数学をモチーフにしたオシャレなオリジナルグッズも販売中です!おかげさまで好評頂いてます!

普段使いしやすいグッズです。ステッカーやマグカップも人気ですよ!

正規分布と標準正規分布

「色々な現象が正規分布に従う」という話をしましたが、正規分布はキレイな釣鐘型をしている、というだけで形は様々です。

例えば、

たろぅ

ドーナツ100個の重さを調べたら、重さ\(X\)は平均50g、分散25だった!

たろぅ

ついでに鮭100匹の重さを調べた!重さ\(Y\)は平均1200g、分散8100だった!

正規分布3

こんな感じで、形は様々です。ただ、ここで

せんせ

じゃあドーナツ1個とってきたとき、40g以下の確率は?鮭1匹が1500g以上の確率は?

と聞かれたら、いくらキレイな釣鐘型とはいえ、直接計算することは難しいです。

正規分布4

じゃあどうするか?というと、正規分布を標準正規分布に変換して確率を求めます。

正規分布5

ですので、「正規分布」→「標準正規分布に変換(標準化)」→「標準正規分布上で欲しい確率や検定を行う」という流れで正規分布を処理していきます。

せんせ

標準正規分布に変換する方法(標準化)や変換した後の処理はこちらの記事をごらんください!

二項分布と正規分布の関係

実は二項分布は正規分布と深い関係にあります!

正規分布6

二項分布は離散型ですが、

「中央に山がある」「山を軸に左右対称」である、と正規分布に似た性質を持ちます。

そして、実際に二項分布の試行回数が多ければ、二項分布は正規分布で近似できる、という性質があります。

ですので、二項分布についても、「二項分布」→「正規分布に近似」→「標準正規分布に変換(標準化)して解析」の流れで確率を求めたり、推定や検定を行ったりします。

まとめ

正規分布についての説明でした。

正規分布は重要ですが、「そういうものがある」というのと「実際の計算は標準正規分布に標準化して行う」という点を押さえておけばOKです。

あと、「平均と分散で形が決まるから\(N(m,\sigma ^2)\)と書くんだな」という表現の仕方は覚えておいてください。

ちょっと一息

数学をモチーフにしたオシャレなオリジナルグッズも販売中です!おかげさまで好評頂いてます!

普段使いしやすいグッズです。ステッカーやマグカップも人気ですよ!

また、このブログで活躍してるクマのLINEスタンプも販売しています!ぜひ一度見てみてください!

Youtubeもやってます!数学とは全然関係ない、ゆるいバイク動画です。気晴らしにどうぞ!

あなたへオススメ!
よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!
目次