比や割合はなぜ分数で計算する！？その考え方って？

小学校で習う「比」…。

これ、実は高校生でも意外とわかっていない生徒が多いです。

日常生活でも使う基本的な考え方なのですが、それまで具体的な「値」を扱っていたのに対し、初めて少し抽象的な考え方が必要になってきます。

この記事では、小学生でもわかりやすく、高校生でも比の計算を上手く使えるように、徹底的に比や割合について解説をしていきます！

比や割合って？そもそも何？

調理実習で…。

こんなのは「比」の話ですね。

比は「これを○とみなしたときに、こっちは△という値で表せる」という考え方で、少し抽象的な考え方になります。

今回の例で言うと、「これ」＝「４（人前）」に対して「こっち」＝「６（味噌大さじ）」という比になります。つまり、

（人数）：（味噌）=\(4 : 6 \)

ですね。これが比の考え方と表し方になります。ちなみに、「：」の前にある値を前項、後ろにある値を後項といいます。

「具体的に何gって言ってくれた方がわかりやすい！」と思うかもしれませんが、なぜこんなわかりにくいことをするのか？というと、「比の考え方さえ掴めれば、応用が効きやすく、どんな状況にも対応しやすいから」です。

この辺りを説明していきましょう！

比の性質と計算

比の性質として、前項と後項に同じ値を掛けたり、同じ値で割ったりしても比としては同じ、というものがあります。比は割合なので、同じだけ掛けたり（引き伸ばしたり）、同じだけ割ったり（縮めたり）しても、割合は変わらないからです。

ちなみに、同じ値を「足したり」「引いたり」してはいけません。比が崩れます。

これは、例えば「100に対する+1」と「1に対する+1」では、同じ+1でもそれぞれの値に対する割合が違うからです。

さてそれでは、先ほどの「比の考え方さえ掴めれば、応用が効きやすく、どんな状況にも対応しやすいから」という点について説明していきましょう。

例えば、さっきの味噌の例で言うと、本来、

（人数）：（味噌）=\(4 : 6 \)

なのですが、この人数が２人になってしまったということは、人数を\(\div 2\)すれば２人になりますね。つまり、味噌も\(\div 2\)してやればいいのです。

（人数）：（味噌）=\(4 : 6 = (4 \div 2) : ( 6 \div 2) = 2 : 3 \)

味噌は大さじ３でよかった、ということになります。こういう計算が機械的にすぐにできるのが比の強みです。

これだけでは、少しありがたみがわかりにくいですが、例えば５人班であった、としましょう。このとき　、５人前の味噌の量を２つのアプローチで計算してみましょう。

1. 人数「４」に色々掛けたり割ったりして「５」を作る。
2. 人数「４」をいったん「１」にしておく。そうすると「５」が作りやすい。（５倍すればよい）

①人数「４」に色々掛けたり割ったりして「５」を作る

比の考え方や計算に慣れている人は、こちらがサッと計算できていいと思います。

最終的には分数の掛け算で計算するのですが、「この分数を掛けて計算すればいい」いう感覚になるまで慣れて欲しいです。

②いったん「１」人前の味噌を出しておく

こちらも結論としては先ほどの計算と同じなのですが、重要なのは「１」に対する比にしておけば、その後の計算がしやすい、という点です。

この「1に対していくらになるか？それをあらかじめ計算しておこう！」という考え方は、高校数学の「三角比」や「ベクトル（単位ベクトル）」でも重要な考え方になります。

比の計算の応用「割引計算」

これ、あるあるシチュエーションですね。「割引した後の値段がいくらか？」というやつです。これも実は比の計算で一発です。

今回、花子さんは「割引分」を返して欲しいので、３割は

\( 350 \times 0.3 = 105\)もしくは、\(\displaystyle 350 \times \frac{3}{10} = 105\)

で計算できます。ここで比の考え方を使っていますね。この計算式は、詳しく書けば、

（割合）:（値段）= 10割（全額、100%、10割…全部同じことです）：350円

なので、全額１０割に対する３割は\(\displaystyle \times \frac{3}{10}\)すればいいです。

（割合）:（値段）= 10割\(\displaystyle \times \frac{3}{10}\)：350円\(\displaystyle \times \frac{3}{10}\) = 3割：105円

となります。先ほど言ったように、「比の計算は分数の掛け算で行う」という感覚を持っておいてください。

ですが、「３割引の商品はいくら？」という問いに対して、この105円を350円から引く、というのは若干手間です。

そこで、0.3を掛ける代わりに0.7を掛ける、という計算をします。

３割引のことを「７掛け」と言ったりしますね。これは、割り引いたあとの値段は、１０割から３割を引いた７割に相当するからです。

同じく「２割引」だったら「残り８割の値段が欲しいので0.8を掛ける」し、「６割引」だったら「残り４割の値段が欲しいので0.4を掛ける」という計算をすれば、簡単に計算することができます。

計算上は「７を掛けて」下１桁の値を取っ払う（実際は0.7だから）という感じですが、実際には「３５０×７＝２４５０だけど、元の値段は３５０円だから２４５円くらいだろ」という感覚で計算しちゃってもOKです。

比の計算の応用「辺の長さ」

えー…これはできるようにしておいてください。高校でもよく使います。

例えば次のような問題です。

丸付きの数が比で、丸無しの数は長さ、とします。？の長さを求める、という問題です。

「比の計算は分数の掛け算で行う」のと、「1に対していくらになるか？それをあらかじめ計算しておこう！」という感覚を合わせれば、結構簡単にコツが掴めると思います。

例えば、問１に対して、

5:2 = 8 : \(x\)として、後で説明する「内項の積＝外項の積」を使って計算することもできますが…面倒ですよね？

というか、「それでも計算できるからいいじゃん」という人は、こちらの記事も読んでもらえればな、と思います。勉強に対する大事な心構えも書いています。（高校生以上向けのお話です）

とにかく、「それで計算できるからいい」ではなく、「もっといいやり方があるなら積極的にそちらを学ぶべき」ということです。

今回の問１は、

\(\displaystyle 8 \times \frac{2}{5} = \frac{16}{5}\)

でイッパツです。この感覚を押さえておいてください。どのように考えるかというと、

1. 基準となる値（今回は8）が、「比ではいくら」（今回は5）になるか確認する。
2. 比１に対していくらになるか？を計算するために、『「比ではいくら（5）」という値で割る＝分数の掛け算で言うと、分母にもってくる』。
3. 欲しい値（今回は？）が「比ではいくら」（今回は2）になるか確認する。②の段階で比１に対していくらになるか？を計算しているので、あとは単純に『「比ではいくら（2）」という値を掛ける＝分数の掛け算で言うと、分子にもってくる』。

つまり、（欲しい値）＝（基準となる値）\(\displaystyle \times \frac{（欲しい値の比）}{（基準となる値の比）}\)で計算することができます。

問２は基準となる値が与えられている場所が違いますが、考え方は同じです。

（欲しい値）＝（基準となる値）\(\displaystyle \times \frac{（欲しい値の比）}{（基準となる値の比）}\)で計算すると、

\(\displaystyle 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\)

でイッパツです。

比の計算の応用「内項の積＝外項の積」

比の計算でよく使う性質の１つに「内項の積＝外項の積」というものがあります。

「比＝比」で与えられたとき、＝を挟んで内側にある項同士の積と外側にある項同士の積は等しい、という性質です。

先ほどの「やるなよ！」といったやり方では、

という計算ができます。※部分が「内項の積＝外項の積」ですね。

実は、内項の積と外項の積の関係も「説明して」と言われたら「？」となる性質の一つです。

まとめ

比についての説明でした。

比は基本的な考え方でありながら、小学校で初めて目にする抽象的な考え方です。

ここらへんから「算数（数学）ってなんかよくわからん…」という数学苦手人生がはじまります…。

ですが、日常生活でもよく使いますし、知っていれば便利な考え方ですので、ぜひマスターして欲しいと思います！