複素数平面では「積＝回転？」なぜ回転を表すのかを説明

\( z_1 = r_1 (\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})\)、\( z_2 = r_2 (\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})\)とすると、

\( z_1 z_2= r_1 (\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})\cdot r_2 (\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})\)

\( = r_1 r_2 (\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}+i\cos{\theta_1}\sin{\theta_2}\)

\(\quad\quad+i\sin{\theta_1}\cos{\theta_2}+i^2\sin{\theta_1}\sin{\theta_2})\)（←展開）

\( = r_1 r_2 \{ (\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}-\sin{\theta_1}\sin{\theta_2})\)

\(\quad\quad+i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2}+\cos{\theta_1}\sin{\theta_2}) \}\)（←\(i\)がひっついてるとことひっついてないとこで整理）

\( = r_1 r_2 \{ (\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)} \}\)

（↑加法定理。「加法定理って？」という人はこちら。）

よって、\( z_1 z_2= r_1 r_2 \{ (\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)} \}\)

例．\(\displaystyle z_1=2\left(\cos{\frac{\pi}{6}}+i \sin{\frac{\pi}{6}}\right)\)に色々な複素数を掛けてみましょう。

(1) \(\displaystyle z_2=3\left(\cos{\frac{\pi}{6}}+i \sin{\frac{\pi}{6}}\right)\)を掛けると次のようになります。

\(\displaystyle z_1z_2=2\cdot 3 \left\{ \cos{\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)}+i \sin{\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)}\right\}\)

\(\displaystyle z_1z_2=6 \left(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}}\right)\)

(2) \(\displaystyle z_3 = \cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}}\)を掛けると次のようになります。絶対値は１なので「回転」のみになりますが、この「絶対値１の複素数を掛けて回転のみ表現」はよく使います。

\(\displaystyle z_1z_3=2 \left\{ \cos{\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}+i \sin{\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}\right\}\)

\(\displaystyle z_1z_3=2 \left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i \sin{\frac{\pi}{2}}\right)=2i\)

今回はあえて\(\displaystyle\cos{\frac{\pi}{2}}=0\)、\(\displaystyle \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)を使って\(a+bi\)の形に戻してみました。

偏角\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)となっているのがわかりやすいと思います。

\(z = r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)について、

\(\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})}\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{r}\frac{\cos{\theta}-i\sin{\theta}}{(\cos{\theta}+i\sin{\theta})(\cos{\theta}-i\sin{\theta})}\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{r}\frac{\cos{\theta}+i(-\sin{\theta})}{\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}}\)

\(\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \{ \cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)} \}\)

（↑ \(\cos{\theta} \Leftrightarrow \cos{(-\theta)}\)、\(-\sin{\theta} \Leftrightarrow \sin{(-\theta)}\)を使った）