不等式の計算で間違えやすい点と変形のポイント

不等式の計算は結構注意して行わないと、間違えることが多い計算です。

なぜ間違える可能性が高いのでしょうか？

この記事では、不等式の計算において注意すべきポイントをまとめていきたいと思います。

「不等式を解く」って？

そもそも不等式を解く、とはどういうことでしょう？

そもそも「方程式や不等式を解く」と言われたら、「その方程式や不等式を満たす変数の値や範囲を求める」という操作をすることです。

特に２つ目の例のように、文字が複数ある場合はどちらの文字が変数か？を確認する必要があります。

ただ、この先生のように普通はあまり意地悪なことをしません。大体「\(x\)に関する不等式」や「\(a\)を定数とする」といった感じで、どの文字が変数か定数かがわかる書き方をしています。

条件を確認する、というのは数学でも現実世界でも同じですね。数学力が上がると、こういう現実世界で問題を解くときに「今の問題は何か？それに対する条件はどうなっているか？」を考えるクセがつきます。これが結構効果が大きくて、問題解決の最短距離を導き出すことができます。

鬼門「負の数を掛ける・割る」

これは不等式を解く際に一番注意しないといけないところですが、理屈自体はそんなに難しいものではありません。

不等号は「より小さい（or以下）」とか「より大きい（or以上）」という大小関係を表した式だからです。ここに負の数を掛けたり負の数で割ったりするとどうなるか、というのを具体例で見てみればわかりやすいです。

例えば、\(1 < 2\)という不等式は正しいですが、この両辺に\(-1\)を掛けたらどうなるでしょうか？

左辺の1は\(-1\)に、右辺の2は\(-2\)になりますが、そのままの不等号の向きでは\(-1 < -2\)となり、おかしくなりますよね？当然正しい不等式にするには\(-1 > -2\)としなければなりません。

これは、負の数を掛けたり負の数で割ったりした際に、数直線で言うと０を中心に鏡に映したように反対側に移るからです。（もちろん、どんな負の数を掛けるかによって、ただ反対側に移るだけでなく着地地点が伸びたり縮んだりします）

ですので、負の数を掛けたり負の数で割ったりした際に不等号の向きを変える、という操作が必要になってきます。

文字入りの不等式を解いてみよう

場合分け…。これほど高校数学で重要な手法、というか考え方はないでしょう。

場合分けは「解法」と思っている人もいるかもしれませんが、場合分けは解答上必然的にそうしなければならない、どちらかというと記述方法、に近いと思います。まぁ、個人的な意見ですが。

場合分けに隠された重要な考え方、それは「もしもこうだったら…？」という起こりうる全ての可能性を考える、というものです。

人は問題を目の前に置かれると、自分の経験や思い込みを基準に解決しようとしがちです。

が、客観性をもって、常に起こりうる可能性を考えることは重要ですよね？これは、例えば会社の売上向上の戦略を練ったり、学校で文化祭の企画を練ったりする際にかなり重要な姿勢です。「こうかもしれない」という目線が必要になってきます。

そういった考え方の訓練をするのが「場合分け」です。ただ「あぁ、場合分けで解けばいいんでしょ？」という認識では勿体無いです。なぜそこで場合分けが必要なのか？を常に考えましょう。

そうです、「\(a=0\)の場合」を忘れていますね。

\(a=0\)のとき、元の不等式は\(0 \cdot x > 0\)となります。

これは、\(x\)がどんな数でも\(0 > 0\)という不等式になりますよね。

おまけ

\(ax > a\)
\(ax-a > 0\)
\(a \times (x-1) > 0\)
ここで、
\(a > 0\)のとき\(x-1 > 0\)より\(x > 1\)
\(a < 0\)のとき\(x-1 < 0\)より\(x < 1\)
\(a = 0\)のとき不等式は成り立たないので、解なし

まとめ

不等式を解く際にはとにかく「負の数を掛けたり負の数で割ったりするときに不等号の向きが変わる」というのを意識しておいてください。

これは、文字で割ったりする場合も同様です。

常に意識しておいて、状況によっては場合分けになることも頭に入れておきましょう。