０で割れない理由？割ってみればわかる！？

四則演算で、唯一やっちゃいけないこと。それは「０で割る」という計算です。

小学生で習う（ハズ）ですが、まぁ正直あんまり意識することってないんですよね。そもそもそんな問題は中学まであまり無いと思います。

ですが、高校になると状況は一変。文字が大量に出てくる式の式変形をすることになります。このときに、「０で割ってはいけない」ルールが顔を出してきます。

かなり口すっぱく言うんですが、生徒はコレ、なかなか直らないんですよね。具体的には、式変形中に文字で割るときにその文字が０でないことをチェック、もしくは場合分けが必要なんですが、そこの確認をしないんですよ。

では、「なぜ０で割ってはいけないんだろう？」。

この疑問にお答えします。

０で割ったらダメ

例えば、\( 3 \div 0 \)。答えは？「０」でしょうか？

答えは「そんな計算できない」です。

では、少し割られる数を増やしてみましょうか。まずは割る数が０でない、普通の割り算を計算してみましょう。

例えば、\( 1564 \div 23 \)。どうぞ。

正解。じゃあ、\( 1564 \div 0 \)。どうぞ。

まぁ、ちょっと稚拙な感じがしますが、０で割るという計算が進まない理由がわかりやすいんじゃないでしょうか？

筆算にしてやれば一発ですね。０には何を掛けても０にしかならないので、筆算が進みません。

1=2？

先ほどの例は、実験的にやってみたら０で割るというのは計算できない、という話でしたが、もう少し別の角度からアプローチしてみましょう。

有名な話なのですが、０で割ることを認めてしまうと、おかしな式が導き出されるというものです。

話は変わりますが、数学、というのはとても自由な学問ですね。矛盾なく論理が組み立てられるなら、どんな世界を考えてもいいんだから。

虚数なんかもそうですよね。なんだ、「実在しない数」って。でも、それを定義しちゃうことで、現実世界でもとても役に立つツールになっています。

ただ、その世界が市民権を得るには「論理破綻がない」というのと「役に立つ」ことが必要です。

そもそも「割る」ってなに？

まず、割り算の計算方法には２つのイメージがあります。この２つ、イメージができますか？

１つ目が、たろう君が言った「割る数で等分に分けたら、一人当たりいくつずつにわけられますか？」という考え方です。別に人とは限らないですが、１単位あたりの配分、という意識はもっておいてください。

２つ目が、「割る数のカタマリがいくつできますか？」という考え方です。この例で言えば、「２というカタマリが３つできる」ともとれます。

「割り算」という呼び方なので、１つ目のイメージがパッと思い浮かぶかもしれませんが、実は２つ目のイメージもあります。「分数の割り算」なんかはこっちのイメージの方がわかりやすいですね。

もう少し数学的なアプローチをすると、割り算は掛け算の逆演算で、これをもう一歩進めると、割り算は逆数の掛け算でできる、ということですね。

すいません、内容自体は小学生レベルの話です。

割り算は掛け算の逆演算（逆の操作）というのはいいですか？

その通りです。じゃあ、割り算は逆数の掛け算で表現できるってのはいいですか？

そうですね。例えば、さっきたろう君が\( 6 \div 2 = 3 \)という例を出していました。

割る数2の逆数は\( \displaystyle \frac{1}{2} \)ですよね？つまり、この割り算は、\( \displaystyle 6 \div 2 = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \)という風に割り算を逆数の掛け算、とみなすことができます。

ちなみに、「逆数」というのはある数にかけたときに1になる数のことです。（ここからは逆数の説明です。わかるよ、という人は飛ばしてください）

例えば、「２の逆数は？」と聞かれたとき、先ほどたろう君が言ったように、分数の分母と分子をひっくり返したものが逆数、と言えます。

ex. 2の逆数→\( \displaystyle \frac{2}{1} \)なので、分母と分子をひっくり返すと\( \displaystyle \frac{1}{2} \)となります。

確かに、\( \displaystyle 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)なので、この２つの数字はお互いに逆数の関係になります。

では矛盾した式1=2を導いてみましょう

さて、話を戻すと、割り算は逆数の掛け算、とみなすことができます。

ここで、０で割ることができるということを認めると、０の逆数を定義することができる、ということになります。

つまり、\( \displaystyle 0 \times \frac{1}{0} = 1 \)のような数\( \displaystyle \frac{1}{0} \)を認める、ということですね。

\( \displaystyle 0 \times \frac{1}{0}=(0+0) \times \frac{1}{0} \)

\( \displaystyle 0 \times \frac{1}{0}=0 \times \frac{1}{0} + 0 \times \frac{1}{0} \) （展開）

\( 1=1 + 1 \)

\( 1=2 \)

さて、ここらへんまで解説しているサイトは結構あるのですが、せっかくなのでなぜこんなことになるのか考えてみましょう。

なぜこんな矛盾した式が出てくるかわかりますか？

ということで、わかりましたかね？

\( \displaystyle \frac{1}{0} \)という数は、\( \displaystyle 0 \times \frac{1}{0} = 1 \)を満たすので、０に掛けても０にならない数と言えます。

矛盾した式が出てくる理由。それは、０という何もない数に\( \displaystyle \frac{1}{0} \)という数をかけることで１という数が生み出されるからです。

まとめ

０で割ってはいけない…まぁ、正直言って高校生か大学で数学を勉強している人以外は忘れているんじゃないかな、と思います。なぜなら、０で割るなんてことを普通はしないからです。

ただ、コラム的に知っておいて面白い話ですし、高校生は冒頭で言ったように、式変形をするときに必ず注意しないといけない部分になります。

ということで、「０で割ってはいけないんだ」ということは頭の片隅に置いておきましょう。