「分数で割る」ときなぜ逆数を掛ける？割り算の「分け方」は２通り

今回は、誰もが思う「ある数を分数で割るってどういうこと？」という疑問にお答えしていきます！

「分数で割るって…分母分子をひっくり返して掛ければいいんでしょ？」

と思っている方。それはそうなのですが「なぜそうするの？」と聞かれたら困りますよね。

この理由を丁寧に説明していきます。

意外とわからない、割り算の持つ意味についても解説していきます！

分数で割るってどういうこと？

ということで、皆さんは分数の割り算をするときに、分母と分子をひっくり返して掛ける、というのはご存知だと思います。

ただ、「なぜそうするの？」と聞かれたら、なかなか答えられないと思います。下手したら学校の先生でも答えられないと思います。

ちなみに分母と分子をひっくり返したものを逆数と言います。

正確には、\(a\)に対して、\(a \times b = 1\)となる\(b\)のことを、\(a\)の逆数と言います。

例えば、\(\displaystyle \frac{1}{4}\)の逆数は\(\displaystyle \frac{4}{1}=4\)です。\(\displaystyle \frac{1}{4} \times 4 = 1\)となるからです。

それではまず「割り算の持つ意味」から確認していきましょう！

割り算が持つ意味

実は割り算には２つの「分け方」があります。

今太郎くんが作ってくれた例題は「割られる数を割る数で分ける」イメージですね。個人的に、このイメージは割り算の（比較的）普通の感覚かな、と思います。

ですが、実はこちらの感覚では分数の割り算が説明しにくいんです。

割り算にはこのイメージもあるんですね。言われてみれば、という感じですよね。まぁ、「当たり前じゃん」と思う人もいると思います。

この「割る数を１セットとみなしたとき、割られる数はいくつに分けられますか？」という考え方を使うと、分数の割り算がわかりやすいです。

分数で割ることを「これを１セットとしたとき、割られる数は何セットに対応するか？」で理解する

例えば\( 8 \div 2 = 4\)について、次の２つの考え方ができます。

右の図は「8は、2を１セットとしたときに、4セットに分けられる」という考え方ですね。

これを\(\displaystyle 8 \div \frac{1}{2} \)でも同じように考えてみましょう。

このように「\(\displaystyle \frac{1}{2}\)を１セット」とすると、「8は16セットに分けられる」というのがわかりますね。

ここまできていればあと少し。この先は「比」の考え方を使います。

この「割る数を１セットにする」という考え方は「割る数を１セットとしたとき、割られる数は何セットに対応しますか？」ということになるので、実は比の話なんですね。

ここでポイントとなるのは、「割る数は必ず１セットにする」という点です。

つまり、比の計算で言うと、「（割る数\(a\)）×\(b\)=1(セット)」となる\(b\)を求めたいわけです。

…この\(b\)って、まさに最初に説明した割る数\(a\)の逆数のことですよね？

ということで、割られる数に割る数の逆数\(b\)を掛ければ、欲しい値が得られます。

まとめ

意外と説明しづらい「分数で割ること」について、図を使いながら説明しました。

「分数で割るときは逆数を掛ける」…ポイントは割り算のイメージと、比の計算です。

この理由が説明できたらちょっとカッコイイかもしれませんね。