二項分布と正規分布の関係【例を使ってわかりやすく解説】

（問）サイコロを２個投げたときの目の和を考える。２個のサイコロを８０回投げたとき、目の和が７である回数が１０回以下である確率を求めよ。

（解答）

今回は、試行回数が80、目の和が７になる確率\(\displaystyle \frac{1}{6}\)なので、二項分布\(\displaystyle B\left(80,\frac{1}{6}\right)\)に従います。

よって、正規分布\(\displaystyle N\left(80 \times \frac{1}{6},80 \times \frac{1}{6} \times\frac{5}{6} \right)\)つまり正規分布\(\displaystyle N\left(\frac{40}{3},\frac{100}{9} \right)\)に従う、とみなせます。

このとき、１０回以下である確率、

この部分の確率を求めていきます。

これを標準化すると、

\(\displaystyle Z=\frac{10-\frac{40}{3}}{\sqrt{\frac{100}{9}}} = -1\)

つまり、標準正規分布で\(Z \leq -1\)の確率を求めればよいのですが、標準正規分布表は\(Z \geq 0\)の確率しか与えられないので、対称性を利用して\(Z \geq 1\)を読みます。

よって求める確率は、0.1587。

※補足：

正直この近似はあまり精度がよくないです。

実際の二項分布で１０回以下である確率を計算すると、0.2002くらいの値になります。これは、元の二項分布が離散型（飛び飛びの値）である一方、近似計算で使った正規分布は連続型であり、整数と整数の間が誤差を生むからです。

そこで、連続修正といわれる修正方法を使うと精度を上げることができます。

単純な発想ですが、\(P(X \leq a)\)を求めたいとき\(a+\frac{1}{2}\)を、\(P(X \geq a)\)を求めたいとき\(a-\frac{1}{2}\)を使って標準化して誤差を修正する、という方法です。整数と整数の間0.5まで考慮しよう、ということですね。

今回\(P(X \leq 10)\)を求めたいので、\(10+\frac{1}{2}=10.5\)で標準化します。

\(\displaystyle Z=\frac{10.5-\frac{40}{3}}{\sqrt{\frac{100}{9}}} = -\frac{17}{20}=-0.85\)

これで標準正規分布表を使って読むと0.1977となり、かなり精度が上がることがわかります。

せんせ

まぁ、この誤差を気にするような問題はテストなどでは出ないと思いますが…多分。