三角比とは？その「本質的な利点」をわかりやすく説明

三角比…アレですよ、高校で習ったヤツ。

\( \sin \)、\( \cos \)、\( \tan \)

わかりますよ。まぁ、これこそ高校数学で「なんでそんなもん考えるんだ！」の代表ですから。

ですが、コイツはツールとして非常に優秀なヤツなんです。

という人がほとんどだと思いますので、この記事では「三角比とはなんぞや？」という目線で話をしていきます。

三角比の定義

まずは三角比の定義です。

ここから派生する、

• \(y=r\sin{\theta}\)（斜辺と角度で高さがわかる）
• \(x=r\cos{\theta}\)（斜辺と角度で底辺がわかる）
• \(y=x\tan{\theta}\)（底辺と角度で高さがわかる）

これらはよく使う性質なので覚えておいて、さっと使えるようにしておきましょう。特に物理・力学なんかではよく使います。

三角比で測ってみよう…なにを？

そうですね、テニスコートに出たとしましょう。

はい、ストップ。こういうときに三角比が役に立つんですね。

ちょっと現実的な話になってしまいますが、長さを測るよりも、角度を測る方がはるかに楽です。

そして、それを元に長さを計算できるのが三角比、というツールなんです。

※ ちなみに、コートの長さは大体揃えましたが、正規のモノとは若干誤差があります。ご了承ください。

それでも三角比…ちょっと納得いかない

ま、こういうところですよね。数学を現実問題と結びつけると逆にツッコミどころが出てきます。

で、数学がキライな生徒が増えると思います。変な所に言い訳をするスキを与えてしまいます。

数学自体は論理に一部のスキもないのに、もったいないです…。

まぁ個人的な意見ですけどね。

三角比の賢さの正体、それはズバリ「比」です。

模型で考えよう

全然話は変わりますが、例えば模型。模型ってすごくないですか？

こういうときに便利なのが「比」ですよね。

ちなみに気になって調べてみたのですが、プラモデルの「１／〇〇スケール」というのは長さベースのようです。当たり前と言えば当たり前ですが、面積の話をするのでちょっと気になってしまいました。

実際に数学の問題を解く際にも、目的（＝向かうべきゴール、答え）を忘れちゃう人って結構いるんですよね。

目的を忘れないでください。逆に目的をしっかり押さえていれば本当にその方法が必要なのか？の判断ができます。

全然関係ないように見えますが、実はこの考え方が三角比が便利である理由なんです。

三角比は規格化した値

三角比の値は角度によって決まっています。

で、この値は後ほど単位円を使った三角関数の定義によって拡張されますが、重要なことは、

\( \sin \)、\( \cos \)は直角三角形の斜辺を１として、高さ、底辺がどのくらいになるか？

\( \tan \)は直角三角形の底辺を１として、高さがどのくらいになるか？

を規格化して表したもの、と思ってくれればOKです。

１を基準とした値は扱いやすいんです。「２」と言われれば２倍すればいいだけですし、「１００」と言われれば１００倍すればいいだけです。

ということは、例えば「斜辺の長さ１０」と言われたら、\( \sin \)、\( \cos \)の値を１０倍すれば、高さ、底辺が出ませんか？

まとめ

途中、小話を挟んでしまったので、ちょっと長くなってしまいました。

高校生の頃に習って、意味もわからず公式を覚えさせられてイヤになった三角比を、ちょっとでも理解していただけたら嬉しいです。

三角比が賢い理由（規格化）も、現実世界では結構使いますね。４人前の料理のレシピよりも、１人前のレシピを知っていた方が、何人前でも必要量を計算しやすいのと同じ理由です。

このように、数学の本質部分は実生活でも役に立つので、数学を勉強しながら本質部分の獲得を目指していきましょう！