ベクトルの絶対値はなぜ二乗する？【本質は内積にあり！？】

ポイントは２つです。

• 大きさが欲しいので二乗します。
• この問題では条件設定を見れば、明らかに始点が\(O\)です。が、求める\(|\overrightarrow{AB}|\)は始点が\(O\)ではないので、こちらの記事で説明したように引き算を使って始点を\(O\)に揃えます。

（解答）

\(|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2\)

\(\quad = (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\)

\(\quad = \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}\)

\(\quad = |\overrightarrow{OB}|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OA}|^2\)

\(\quad = 9-2(-1)+4 = 15\)

\(|\overrightarrow{AB}| \geq 0\)なので、\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{15}\)…（答）

内積計算は整式を展開するように計算することができます。

最初なので丁寧にやりましたが、「積→内積」「二乗→大きさの二乗」という点に注意をすれば、展開公式を使う感覚で展開することができます。

せんせ

大きさだから必ず0以上になる、というのもポイントです。実は二乗の操作は、二乗する前と後の式で同値にならないのでちょっと注意が必要ですが、「大きさ」に関しては安心して二乗できますよね。

この問題も始点をOに揃えることから始めます。

（解答）

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}\)より

\(|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|=\sqrt{5}\)

両辺二乗して

\(|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2=5\)

\(|\overrightarrow{OB}|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OA}|^2 = 5\)

\(9-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+4 = 5\)

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 4\)…（答）

せんせ

やはり大きさを二乗して、大きさ↔︎内積の橋渡しをしているところがポイントですね。