三角関数の積和・和積公式【覚える必要があるか？も説明】

（考え方）

「①＋②」「①ー②」「③＋④」「③ー④」のどれでsin×cosが出てくるか考えます。

積和は、加法定理の右辺にある掛け算を基準に考えると判断しやすいです。

sin×cosが出てくるのは「①＋②」ですね。

①＋②
\( s + s = 2sc\)

という若干意味不明な式が出てきますが、積和は積→和の形に直すのでもう少し変形します。

\(\displaystyle \frac{1}{2}( s + s) = sc\)
\(\displaystyle sc = \frac{1}{2}( s + s) \)

これで完了です！あとは、覚えている角の順番、

\( \alpha + \beta \)　→　\( \alpha – \beta \)

を適用してやればおしまいです。つまり、この略した式にこの順番で角を吹き込んでやります。

\(\displaystyle sc = \frac{1}{2}( s + s) \)
→\(\displaystyle \sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha – \beta)} \} \)

せんせ

積和でも和積でも左辺は基準となる角なので、それぞれ一文字ですね。右辺に覚えている形の角を入れ込んでいきます。

よって、

\(\displaystyle \sin{75°} \cos{15°} = \frac{1}{2} \{ \sin{(75° + 15°)} + \sin{(75° – 15°)} \} \)
\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2} ( \sin{90°}+ \sin{60°} ) \)
\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2} ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \)…（答）

（考え方）

和積は作るのが簡単です。積和も和積も加法定理を足し引きしたときの左辺が「和」、右辺が「積」になるので、和積は判断がしやすいです。

今回はcos + cosなので「③＋④」ですね。

③＋④
\(c + c = 2cc\)

これに覚えている角の順番、

\(\displaystyle \frac{A+B}{2}\)　→　\(\displaystyle \frac{A-B}{2}\)

で、この式に角を吹き込んでやると、

\(\displaystyle \cos{A} + \cos{B} = 2 \cos{\frac{A+B}{2}} \cos{\frac{A-B}{2}}\)

となります。

せんせ

最初は略した加法定理をメモ書きみたいに書く方がやりやすいですが、慣れればアタマの中でできるようになりますよ！

よって、

\(\displaystyle \cos{75°} + \cos{15°} = 2 \cos{\frac{75°+15°}{2}} \cos{\frac{75°-15°}{2}}\)
\(\displaystyle \quad = 2 \cos{45°} \cos{30°} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)…（答）

\(\sin{3x}\)を３倍角でバラすのはギリギリいけますが、\(\sin{5x}\)はバラすのは大変です…。

なので、和積で式をまとめていきます！

「①＋②」→\(s + s = 2sc\)→これに\(\displaystyle \frac{A+B}{2}\)、\(\displaystyle \frac{A-B}{2}\)を入れる。

\(\displaystyle \sin{A} + \sin{B} = 2 \sin{\frac{A+B}{2}} \cos{\frac{A-B}{2}}\)

（解答）

\( \sin{5x} + \sin{3x} = 0\)
\(\displaystyle 2 \sin{\frac{5x+3x}{2}} \cos{\frac{5x-3x}{2}} = 0 \)
\( 2 \sin{4x} \cos{x} = 0 \)

\(\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}\)より\(\cos{x} \neq 0\)

よって、\(\sin{4x} = 0\)

\(\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}\)より、\(\displaystyle 0 < 4x < 2\pi \)

ゆえに、\( 4x = \pi\)より\(\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \)…（答）

積和の公式を確認します。cos×cosがほしいので「③＋④」ですね。

「③＋④」→\(c + c = 2cc \)つまり、\( cc = \frac{1}{2}(c + c)\)→これに\( \alpha + \beta \)、\( \alpha – \beta \)を入れる。

\(\displaystyle \cos{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2} \{ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha – \beta)} \} \)

（解答）

\(\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \cos{4x}\cos{3x} dx=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{2}(\cos{7x}+\cos{x}) dx\)
\(\displaystyle\quad = \frac{1}{2} \Big[ \frac{1}{7}\sin{7x}+\sin{x} \Big]_0^\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle\quad = \frac{1}{2} \Big( -\frac{1}{7}+1 \Big) = \frac{3}{7} \)…（答）