三角関数の合成とは？【合成に必要な三角関数の重要な性質も説明】

三角関数の合成は、加法定理→二倍角（半角）の公式、の後に習います。

ここまでで、三角関数の変形方法の基本は一通り終わるのですが、この三角関数の合成…まぁ色々なやり方（というか教える方の主義主張みたいなのも入り込んで）があって厄介です…。

この記事では①合成の原理とその元になる三角関数の重要な性質、②三角関数の合成方法、③cos合成について説明していきます。

三角関数の合成とは？

問．実数\(x\)、\(y\)が\(x^2 + y^2 = 1\)を満たすとき、\(x + y\)の最大値と最小値を求めよ。

ということで、三角関数の合成です。

上の問題は、「図形と方程式」のいわゆる線形計画法の問題ですが、別解もあります。

そして、その別解は正に三角関数の合成を使うんです。

…が、重要なのは、たろうくんが言うように「なんでいきなり三角関数が出てくるのか？」です。

実はこの\(x\)、\(y\)が三角関数でおける、という事実が合成においても重要なんです。

とりあえず、三角関数の合成の公式を載せておきましょう。

…ハイ、ということで丁寧に説明していきましょう。

合成に必要な三角関数の超重要性質

三角関数の合成には２つの重要なポイントがあります。

• 合成の本質は「加法定理」
• ２つの数\(x\)、\(y\)について、
  「それぞれを二乗して足すと１になる」
  という条件があれば、その\(x\)、\(y\)はそれぞれ\(\cos{\alpha}\)、\(\sin{\alpha}\)と置ける（逆でもOK）

①は教科書や色々なサイトで説明をしていますが、重要な性質は②の方です。

言葉で説明するとわかりにくいですが、要は\(x\)、\(y\)について

\(x^2+y^2=1\)

という条件があれば、\(x = \cos{\alpha}\)、\(y = \sin{\alpha}\)と置くことができる、ということです。

この、「\(x^2+y^2=1\)という条件があれば、三角関数の形で置くことができる」というのはちょっと高度な変数減らしとしても使えます（最初の問題は三角関数を使った変数減らしと言える）が…このあたりはまた別の機会に説明しましょう。

とにかく、「\(x^2+y^2=1\)という条件があれば、三角関数の形で置く」という置き換えはちょくちょく出てきます。

実は今回の合成もこの性質をガッツリ使っています。

合成は\(a \sin{\theta} + b \cos{\theta}\)の式を、「\(\sin{( \theta + \alpha )}\)」にもっていきたい、という話です。

ここで、加法定理を使って、ゴールである\(\sin{( \theta + \alpha )}\)をバラしてみると、

\(\sin{( \theta + \alpha )} = \sin{\theta}\cos{\alpha}+\cos{\theta}\sin{\alpha}\)
\(\quad = \cos{\alpha}\sin{\theta}+\sin{\alpha}\cos{\theta}\)

となります。

ここで、\(a \sin{\theta} + b \cos{\theta}\)と見比べると、

\(a\)の部分が\(\cos{\alpha}\)
\(b\)の部分が\(\sin{\alpha}\)

になっていることがわかります。

ですが、当然\(a=\cos{\alpha}\)…と置くことはできません。\(\cos{\alpha}\)、\(\sin{\alpha}\)と置くには、それらの文字が「それぞれ二乗して足すと１になる」という条件を満たしていないといけないからです。

…逆にいうと、その条件さえ満たせば\(\cos{\alpha}\)、\(\sin{\alpha}\)と置いていい、ということですよね？

ということで、\(a \sin{\theta} + b \cos{\theta}\)から無理矢理\(\sqrt{a^2+b^2}\)をくくり出します！

すると、

\(\displaystyle a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = \sqrt{a^2+b^2} \Big( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin{\theta} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos{\theta} \Big) \)

となりますが、ここで\(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)と\(\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)について考えます。

この２つの式はまさに「それぞれ二乗して足すと１になります」よね？

\(\displaystyle \Big( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Big)^2 + \Big( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \Big)^2 = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1\)

丁寧に説明して長くなってしまいましたが、これで、

\(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos{\alpha}\)、\(\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sin{\alpha}\)

と置くことができ、\(a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = \sqrt{a^2+b^2}\sin{( \theta + \alpha )}\)となります。

三角関数の合成方法

本質的な合成方法

本質的な合成方法をするには、

• 毎回\(\sqrt{a^2+b^2}\)でくくる。
• \(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)と\(\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)を\(\cos{\alpha}\)、\(\sin{\alpha}\)と置いていい。（実は、どちらを\(\cos{\alpha}\)、\(\sin{\alpha}\)としてもいい。）
• 最終的に加法定理を使う。

の３つを覚えておかなければいけません。

特に②ですね。この「本質的な合成」を推奨する人も多いのですが、理由は「cos合成にも対応できるから」です。その「cos合成」をするためにも②の性質を押さえておく必要があります。

でもまぁ…「cos合成」ってほとんど出ないんですよね（たしか過去、センター試験と共通テストで１度ずつ出題されたことがあるはず）。共通テストのような「解答欄に合わせていく」という形式じゃないと「cos合成」をする意味はありませんし、あまり問題を解く上で本質的ではない気もします（sinとcosは位相がずれてるだけ…なので）。

「cos合成」にとらわれずに、どちらかというと、②の性質をちゃんと理解することが重要だと思います。

例．\( \sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} \) を\(k \sin{(\theta+\alpha)}\)の形に変形せよ。

実践的な合成方法

ただ、本質的な合成方法は、どうしても変形しにくい部分があります。それは、

ここで、\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{6}}\)、\(\displaystyle \frac{1}{2} = \sin{\frac{\pi}{6}}\)とおけるので、

この部分ですね。

なので、実践的には図を使って合成する方が早くて確実です。

例．\( \sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} \) を\(k \sin{(\theta+\alpha)}\)の形に変形せよ。

おまけ．三角関数のcos合成

ついでに、といってはなんですが、cos合成も説明しておきます。

\(\displaystyle a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = \sqrt{a^2+b^2} \Big( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin{\theta} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos{\theta} \Big) \)

cos合成はこのあとがポイントです。

\(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sin{\alpha}\)、\(\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos{\alpha}\)と置くことが重要です。

そうすると、

\(\displaystyle a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = \sqrt{a^2+b^2} ( \sin{\alpha} \sin{\theta} + \cos{\alpha} \cos{\theta} ) \)
\(\quad = \sqrt{a^2+b^2} (\cos{\theta}\cos{\alpha} + \sin{\theta}\sin{\alpha} ) \)
\(\quad = \sqrt{a^2+b^2} \cos{ ( \theta – \alpha ) } \)

となります。これでcos合成の完成です。

このcos合成の場合は、角度が\(\theta – \alpha\)となります。これは、そもそも合成は加法定理を使っているからです。

例’．\( \sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} \) を\(k \cos{(\theta-\alpha)}\)の形に変形せよ。

ちなみに、cosの形にしたいだけであれば、sinから無理矢理変形することもできます。

例’．\( \sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} \) を\(k \cos{(\theta-\alpha)}\)の形に変形せよ。

sin合成のときのように図を使ってできなくもない…ですが、①点を\( (b , a)\)ととらないといけないこと、②読んだ角を引くこと、の２点に注意しなければいけないので、それなら「本質的な合成」でcos合成した方がいい気がします。

三角関数の合成のまとめ

三角関数の合成のまとめでした。

• とりあえず図を使って三角関数の合成（sin合成）ができるようになる。
• 「それぞれ二乗して足すと１になる変数は\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)とおける」というポイントを押さえて、cos合成ができるようになる。

これらができれば大丈夫です。