マイナス×マイナス＝プラス？をわかりやすく説明！

マイナス×マイナス＝プラス

まぁ、そうですよね。中学のときに習いましたもん。

では聞きますが「なぜマイナス×マイナス＝プラスになるのでしょう？」

この質問に３人の先生が答えてくれるようです。

ちょっと弁が立つ先生

みなさん「マイナス」と聞くとどんなイメージですか？

「マイナスポイント」「マイナス成長」「マイナス効果」…。

マイナスにはネガティブなイメージがあります。そして、掛け算には「それがいくつかある」というイメージがあります。

では、ネガティブなものが「マイナス個あったら？」

マイナス＝ネガティブ、マイナス＝反対向き、という感覚を二つ組み合わせれば、日本語レベルでなんとなく納得がいきますよね。

中堅中学数学先生

これをマイナスの数に掛ける数を増やせば、減らせば、と考えます。

なんとなくわかりやすいんじゃないでしょうか？

特に重要なポイントは、「法則性を見出して、それを足がかりにする」という考え方をしている点です。

世の中は、実はあまり原因なく物事が動くことがないです。なにが起きるにしても大体原因があります。

法則性を見出す、ということは原因に沿って物事を捉える、ということです。そして、それを足がかりに物事を考えれば、大体予想通りの結果が得られます。

だって原因があるんだから。

「ヒヤリハット」とかも一緒ですよね。１件の重大事故の裏には、２９件の軽い事故があり、３００件の未遂事故がある、っていうアレです。

アレも、結果だけ追うと「重大事故」「軽い事故」「未遂事故」となりますが、原因は同じです。

「未遂」のうちに法則性を見出せば、その先の「重大事故」を防ぐ余裕は十分にあります。

ガチンコ数学教師

最後は少し数学っぽく説明をします。

とはいえ、「分配法則」がわかっていれば比較的理解しやすいかな、と思います。

分配法則とは\( a \times (b+c)=a \times b + a \times c \)と計算できる、という法則のことです。

やりましたよね、\( 2 \times (x^2+3x)=2x^2 + 6x \)みたいな式計算。アレです。

また、先生の言う\(-a\)の定義とは、\(a\)に対して、\(a+b=0\)となる\(b\)のことを\(b=-a\)といいましょう、ということですね。

これにもうひとつ補足の考え方として「引き算はー（マイナス）の足し算」であることと「\(-a = (-1) \times a \)」となることは認めます。

ex1. \( 5-2 = 5+(-2)=3 \)

ex2. \( -2 = (-1) \times 2 \)

では、本題です。

先ほどの補足の考え方を用いると、\( (-a)(-b)-ab = (-a) \times (-b) +(-a) \times b \)となるのはわかると思います。

いわゆる「くくる」という操作ですね。\( (-a) \times (-b) +(-a) \times b \)には共通因数\( (-a) \)があるので、分配法則を逆に使って「くくる」という操作ができます。

ということで、先ほどの計算を進めると、こんな感じになります。

\( (-a)(-b)-ab = (-a) \times (-b) +(-a) \times b = (-a) \times (-b+b) = (-a) \times 0 = 0 \)

ここまでくればあと一息。\( (-a)(-b)-ab = 0 \)の両辺に\( ab \)を足してやると…。

基本的な式変形を論理で組み上げていって新しい考え方をつくる、という点がポイントです。

重要なことは、論理のみで組み上げたものは次のステップでも揺るぎない、ということです。

これは特に新しい事業を始めたり、プログラミングとかでも重要な考え方ですね。実際に私もプログラミングをするので、こういう数学的なプロセスは結構役に立っています。実はプログラミングで重要な数学的考え方が他にもあるんですが…それはまた別の機会にしましょう。

なるべく主観を捨てて、論理だけで組み上げれば、自ずと答えが見えてくる。これが論理の力ですね。

また、途中で「分配法則」を逆の方向に見て「くくる」という操作をしています。

物事を色々な方向から見るのは重要ですね。新たな気づきが得られます。

まとめ

いかがだったでしょうか？意外と説明できないマイナス×マイナス＝プラス。考えてみると面白いですよね。

このくらいのペースで、数学に関するちょっとした疑問を学び直していきたいと思います。

また、こちらでも話した通り、「数学がなぜ役に立つのか？」というのは、こんな感じで記事の中で説明していきます。