“役に立つ”行列の基本と考え方のコツをわかりやすく説明

「行列」…今の高校の教育課程では習いませんが、大学の「線形代数」という分野で出てきます。

実は、行列はAIで必須の学習分野で、今ちょっとしたブームになっています。

ちなみに、昔は高校で行列を習っていた時期もありました。正直「なんでこんなこと勉強するんじゃ！」と思っていましたが、後々ベクトルや解析と結びつくので、考え方を理解していると応用範囲が広く、使いやすい武器です。

この記事では、「行列とは？」という説明から、行列の基本的な計算方法の解説をしていきます。

行列とは？

行列とは「数の組を行と列に並べて表現したもの」です。

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

こんな感じですね。数字（or当然文字でもOK）を縦と横に書き並べて、それを一組として扱います。

また、行列は\(A\)などアルファベットの大文字で表し、それぞれの数字（or文字）の間はスペースをとって区切りを表現します。カンマなどで区切ることはしません。

行列の形

先ほど、

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

という行列の例をあげましたが、行列のサイズは２×２とは限りません。

\(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)

こんな形もアリです。

行列がどんなサイズか？を、「\(m \times n\)行列」または「\(m\)行\(n\)列の行列」と言って表します。横方向が行、縦方向が列です。

ちなみに、\(m \times m\)行列（行と列の数が同じ）を\(m\)次正方行列といいます。

行列の成分

行列の、\(i\)行\(j\)列の値を\((i,j)\)成分、といい、\(a_{ij}\)と表します。

\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)

具体的に書くとこんな感じですね。

行列の基本的な計算

まだまだ基本的な用語が出てくるのですが、先に行列の計算について話をしておきます。

足し算・引き算

行列の足し算・引き算は簡単です。

結論から言うと「同じ成分を足したり引いたりする」だけ。ですので、サイズが同じ行列同士でないと足し算・引き算はできません。

例．\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)、\(B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)とすると、

\(A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\quad = \begin{pmatrix} 1+3 & 2+4 \\ 3+2 & 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}\)

引き算も同じ要領ですね。

\(A – B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\quad = \begin{pmatrix} 1-3 & 2-4 \\ 3-2 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)

実数倍（スカラー倍）

実数倍（スカラー倍）は、それぞれの成分をその実数倍します。

例．\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)とすると、

\(2A = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}\)

ここまでは直感的で簡単ですね。

掛け算

ということで、掛け算ですが、これは足し算や引き算のように「同じ成分を掛け算する…わけではない」です！

先ほど「ベクトルも行列として表現することができる」とちょっとだけ言いましたが、「ベクトルの内積」を成分同士の掛け算で計算しないように、行列でも積の計算のときに単純に成分同士を掛け合わせることはしません！

この掛け算（積）が行列の特徴的な演算になります。

\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)、\(B = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}\)とすると、行列の積\(AB\)は

\(AB = \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}\)

と計算します。

という声が聞こえてきそうですが、よくみると、積\(AB\)のそれぞれの成分は、ベクトルの内積のような形（成分を掛けて足す）になっていることがわかります。

文字だとわかりにくいので、具体的な数字で表して、計算方法のコツを図にしておきます。

例．\( P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)、\( Q = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)という行列があったとします。\(Q\)もこんな形ですが、\(2\times 1\)行列という立派な行列です。

この行列について、積\(PQ\)は

\(PQ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 3 + 2 \times 4 \\ 3 \times 3 + 4 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 25 \end{pmatrix} \)

と計算できますが、積\(QP\)は

\(QP =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \cdots ?\)

となり、計算できないことがわかります。

また、次のように、積の順番を交換したときに、例え計算できたとしても同じ結果になるとは限りません。

例．\( R = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)、\( S = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)という行列があったとします。

これらの積\(RS\)と\(SR\)はそれぞれ次のようになります。

\(RS = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

\( \quad = \begin{pmatrix} -1+2 & -2+4 \\ -1+2 & -2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

\(SR = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

\( \quad = \begin{pmatrix} -1-2 & -2-4 \\ 1+2 & 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -6 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

\(RS \neq SR\)

積\(RS\)と\(SR\)は結果が全然違います。つまり、一般的に行列の積は交換法則が成り立ちません。

ということで、行列の積に関しては「左から掛ける」「右から掛ける」をしっかりと区別します。

それらの積が計算できない可能性もあるし、できたとしても、左から掛けるのと右から掛けるのでは一般的に計算結果が違う、というのは重要な特徴なので押さえておいてください。

零行列と単位行列

零行列

すべての成分が0である行列を零行列といい、\(O\)と書きます。

例．\(O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

行列\(A\)と零行列\(O\)に関して、\(AO = OA =O\)となることはすぐにわかるはずです。

そしてもう一つ、実は零行列に関して面白い性質があります。

例．\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)、\( B = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)の積\(AB\)

この例でわかるように、\(A \neq O\)、\(B \neq O\)でも、その積\(AB\)は\(AB=O\)になることがあります！

単位行列

正方行列の左上から右下の成分のことを対角成分、といいます。

例1．\( \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & a_{12} \\ a_{21} & \color{red}{a_{22}} \end{pmatrix}\)

２次正方行列であれば、この\(a_{11}\)、\(a_{22}\)のことです。

この対角成分以外の成分が0である行列を対角行列、といいます。

例2．\( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

例3．\( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

そして、この対角成分がすべて1である対角行列を単位行列といって、\(E\)と書きます。

例4．\(E= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

例5．\( E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

これらはどちらも（２次、３次の）単位行列です。

単位行列を掛けてもその行列は変わらない、という性質があります。しかも、左から掛けても右から掛けても結果は同じです。

例6．\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)、２次の単位行列を\(E= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)とすると、

\(EA =AE=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

おまけ「行列とベクトル」

ベクトルは「いくつかの成分を一組として扱う（２つの成分であれば平面ベクトル、３つの成分であれば空間ベクトル）」ので行列の一種とみることができます。

例1．\( \overrightarrow{a} = (1, 2)\)と成分表示で書くところを、\( \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)と書きます。

例2．\( \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)、\( \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)のとき、

\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

例3．片方を縦の行列ではなく横の行列にすれば、内積の計算も行列の積の計算で可能です。

\( \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\)、\( \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)とすると、

\( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\end{pmatrix}\)

まとめ

思った以上に長文になってしまいましたので、ポイントをまとめておきます。

• 行列とは、数の組を長方形状（もしくは正方形状）に並べて一組にしたもの。
• 行列の足し算・引き算、実数倍は成分同士の計算で行う。積は成分同士を掛けて足す、というちょっと特殊な計算になる。
• 行列の積は交換法則が基本的に成り立たない。また、\(A \neq O\)、\(B \neq O\)でも、その積\(AB\)が\(AB=O\)となることがある。
• 対角行列は後々出てくるので頭の片隅に置いておいてください。

ちなみに、AIとかでは、画像解析なんかをするときに画像データを行列（テンソル）で扱います。最新の技術にも行列の知識が使われている、というのも面白いですね。