確率統計の分散とは？求め方や変数変換aX+bでどうなるか説明

（※の証明）

\( V(X)= (x_1-m)^2p_1+ (x_2-m)^2p_2+\cdots+ (x_n-m)^2p_n \)

\( \quad = ( x_1^2-2x_1m+m^2)p_1 + ( x_2^2-2x_2m+m^2)p_2+\cdots \)

\( \quad\quad + ( x_n^2-2x_nm+m^2)p_n \)

\( \quad = ( x_1^2p_1+\cdots+ x_n^2p_n)-2m ( x_1p_1+\cdots+ x_np_n)\)

\( \quad\quad +(p_1 + \cdots +p_n)m^2\}\)

\( \quad = E(X^2) -2m \cdot m + 1 \cdot m^2\)

\( \quad = E(X^2) -m^2= E(X^2)- \{ E(X) \}^2\)（終）

（解）

表の枚数が0枚となる確率は、 \(\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^3=\frac{1}{8}\)

表の枚数が1枚となる確率は、 \(\displaystyle _3C_1 \left( \frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{2} \right)^2=\frac{3}{8}\)

表の枚数が2枚となる確率は、 \(\displaystyle _3C_2 \left( \frac{1}{2} \right)^2\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{3}{8}\)

表の枚数が3枚となる確率は、 \(\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^3=\frac{1}{8}\)

よって、確率分布は次のようになる。

\(\displaystyle E(X)=0 \cdot \frac{1}{8}+1 \cdot \frac{3}{8}+2 \cdot \frac{3}{8}+3 \cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle E(X^2)=0^2 \cdot \frac{1}{8}+1^2 \cdot \frac{3}{8}+2^2 \cdot \frac{3}{8}+3^2 \cdot \frac{1}{8}=3\)

よって、分散\(V(X)\)は

\(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{ E(X) \}^2 = 3-\left( \frac{3}{2} \right)^2=\frac{3}{4} \)…（答）

（定義に従って分散を計算してみると…）

\(\displaystyle V(X)=\left(0-\frac{3}{2}\right)^2\frac{1}{8}+\left(1-\frac{3}{2}\right)^2\frac{3}{8}\)

\(\displaystyle \quad \quad +\left(2-\frac{3}{2}\right)^2\frac{3}{8}+\left(3-\frac{3}{2}\right)^2\frac{1}{8}\)

\(\displaystyle \quad =\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{4} \cdot\frac{3}{8}+\frac{1}{4} \cdot\frac{3}{8}+\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{4}\)

（証）

確率変数\(X\)の期待値\(E(X)=m\)とする。\(X\)を\(aX+b\)と変換すると、期待値は\(E(aX+b)=am+b\)となる。（説明はこちらをご覧ください。この後、計算過程でも期待値の変数変換を使います。）

ここで、分散は「(変数ー期待値\()^2\)の期待値」ともいえるので、\(V(X)=E((X-m)^2)\)、

\(V(aX+b)=E( \{ aX+b-(am+b) \}^2 )\)と計算できる。

\(V(aX+b)=E( \{ aX+b-(am+b) \}^2 )=E( \{a(X-m)\}^2 )\)

\( \quad = E(a^2(X-m)^2)\)

\( \quad = a^2E((X-m)^2)\)

\( \quad = a^2V(X)\)（終）