PR
二次関数の練習問題まとめ【基本から応用まで・無料で解答付き】
二次関数は、平方完成・最大値最小値・文章題への応用と、高校数学の中でもニガテ意識が残りやすい単元です。
同時に、二次関数や平方完成などのテクニックは最終的に数学Ⅱや数学Ⅲの分野でも使うので、確実に習得しておきたい分野でもあります。
ここでは基本から応用まで段階的に解ける練習問題をまとめました。まずは自分の力で解いてみて、解答と照らし合わせてみてください。
たろぅこの記事では数学Ⅰの二次関数の練習が解説付きでできますよ！
ぜひ数学の勉強に役立ててくださいね！
目次
基本編
問題1：二次関数の最小値
関数 \(y = x^2 – 4x + 7\) の最小値を求めなさい。
解答・解説
解答：\(x=2\) のとき最小値 \(3\)
【解説】
平方完成すると \(y=(x-2)^2+3\) となる。\((x-2)^2 \geq 0\) より、\(x=2\) のとき最小値 \(3\) をとる。
問題2：上に凸な放物線の最大値
2次関数 \(y=-2x^2+8x-5\) の最大値を求めよ。
解答・解説
解答：\(x=2\) のとき最大値 \(3\)
【解説】
\(y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=-2\{(x-2)^2-4\}-5=-2(x-2)^2+3\)。上に凸な放物線なので \(x=2\) のとき最大値 \(3\)。
平方完成がニガテ…という人はコチラの記事もご覧ください！
あわせて読みたい
平方完成のやり方をわかりやすく説明！応用例も！
「平方完成」は高校数学で最初の山場、と言ってもいいでしょう。 「平方完成ってなんだったっけ？」という人にも、「なんで平方完成なんかするんじゃ！」という人にも、…
標準編
問題3：面積の最大化（文章題）
長さ20mのロープを使って長方形の柵を作る。囲む面積を最大にするには、縦・横の長さをそれぞれ何mにすればよいか。また、そのときの最大面積を求めよ。
解答・解説
解答：縦・横ともに5m、最大面積25平方メートル
【解説】
縦を \(x\)、横を \(y\) とすると \(2(x+y)=20\) より \(y=10-x\)。
ここで、\(x>0\)、\(y=10-x>0\)より、\(0<x<10\)。
一方、面積は \(S=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5)^2+25\)（\(0<x<10\)）。
よって \(x=5\) のとき最大値 \(25\) をとる。
せんせ定義域は関数の最重要項目！しっかり押さえておきましょう！
この問題も定義域内に\(x=5\)が収まるから最大値\(25\)なんですよね
発展編
問題4：文字係数を含む二次関数の最小値（軸の位置で場合分け）
\(a\) を定数とする。2次関数 \(f(x) = x^2 – 2ax + a^2 + a – 1\) の \(0 \le x \le 2\) における最小値を求めよ。
解答・解説
解答：\(a<0\) のとき最小値 \(a^2+a-1\)（\(x=0\)）／\(0\le a\le 2\) のとき最小値 \(a-1\)（\(x=a\)）／\(a>2\) のとき最小値 \(a^2-3a+3\)（\(x=2\)）
この問題は軸の位置による場合分けになります。
今回は「軸が定義域の内側か外側か」で場合分けします。
【解説】
\(f(x)=(x-a)^2+a-1\) と平方完成できるので、頂点は \(x=a\)。
頂点が定義域[0,2]の内側か外側かで場合分けする。
(i)\(a<0\) のとき
\(x=0\) で最小。\(f(0)=a^2+a-1\)。
(ii)\(0\le a\le 2\) のとき
\(x=a\) で最小。最小値 \(a-1\)。
(iii)\(a>2\)のとき
\(x=2\) で最小。\(f(2)=4-4a+a^2+a-1=a^2-3a+3\)。
二次関数の最大・最小値の場合分けの問題はコチラの記事で詳しく解説しています！
あわせて読みたい
二次関数の最大値・最小値問題【高校数学で最初の山場「場合分け」】
二次関数の最大値・最小値の問題は数学Ⅰの花形問題です。 ここでの最大の山場は「関数or定義域が動く際の場合分け」ですね。 場合分け…やってることはわかるけど、二次…
もっと解きたい人へ
ここで紹介した4問以外にも、Math Journal Stockでは二次関数の問題を無料で多数公開しています。スマホでそのまま解いてもいいですし、プリントして紙で解きたい人は印刷機能も使えます。
→ 二次関数の問題をもっと見る（Math Journal Stock）
平方完成や最大値・最小値の考え方をもう一度確認したい人は、こちらの解説記事もあわせてどうぞ。
クマの数学日記オリジナルの問題ストックWebアプリ公開中！
中学生向けのドリル問題から大学入試、大学レベルの演習問題まで無料で公開しています！さらに、AI問題生成機能も無料登録で使えます！ぜひこちらもご覧ください
ちょっと一息
Youtubeもやっています！「動画で解説が見たい！」という人はチェックしてみてください！
数学をモチーフにしたオシャレなオリジナルグッズも販売中です！おかげさまで好評頂いてます！
普段使いしやすいグッズです。ステッカーやマグカップも人気ですよ！
また、このブログで活躍してるクマのLINEスタンプも販売しています！ぜひ一度見てみてください！
