確率変数の和や積の期待値は？求め方を説明！

（証明、というより説明）

簡単のために、それぞれの確率変数\(X\)、\(Y\)が取り得る値は２つずつ、とします。

具体的に、\(X=x_1, x_2\)、\(Y=y_1, y_2\)の２つずつ取り得るとします。

確率変数\(X\)、\(Y\)の同時確率分布は次のようになります。

※同時確率分布の補足説明

• 例えば、\(x_1\)かつ\(y_1\)を取る確率を\(p_{11}\)とします。
• 一番右の列、例えば、\(p_{y1}\)は\(y_1\)を取る確率になります。具体的には表の確率を右向きに足した、\(p_{11}+p_{21}\)が\(p_{y1}\)になります。一番下の列は\(X\)に関する確率になります。

せんせ

この同時確率分布を使って、\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)となることを示します。

まず、\(E(X)=x_1p_{x1}+x_2p_{x2}\)、\(E(Y)=y_1p_{y1}+y_2p_{y2}\)、となります。確認しておいてください。

それをふまえた上で、\(E(X+Y)\)を計算します。

\(E(X+Y)=(x_1+y_1)p_{11}+(x_2+y_1)p_{21}\)

\(\quad\quad + (x_1+y_2)p_{12}+(x_2+y_2)p_{22}\)

\(\quad=x_1p_{11}+y_1p_{11}+x_2p_{21}+y_1p_{21}\)

\(\quad\quad + x_1p_{12}+y_2p_{12}+x_2p_{22}+y_2p_{22}\)

\(\quad=x_1(p_{11}+p_{12})+x_2(p_{21}+p_{22})\)

\(\quad\quad+y_1(p_{11}+p_{21})+y_2(p_{12}+p_{22})\)

\(\quad=x_1p_{x1}+x_2p_{x2}\)

\(\quad\quad+y_1p_{y1}+y_2p_{y2}\)

\(\quad= E(X)+E(Y)\)

（証明、というより説明）

簡単のために、それぞれの確率変数\(X\)、\(Y\)が取り得る値は２つずつ、とします。

確率変数\(X\)、\(Y\)の同時確率分布は次のようになります。

まず、\(E(X)=x_1p_{x1}+x_2p_{x2}\)、\(E(Y)=y_1p_{y1}+y_2p_{y2}\)、となります。

加えて、今回は独立という条件がつきますので、\(p_{11}=p_{x1}p_{y1}\)等が成り立ちます。

これは、独立の定義になります。詳しくはコチラ。

これをふまえて同時確率分布を書き直すと、次のようになります。

せんせ

この同時分布を使って、\(E(XY)=E(X)E(Y)\)となることを示します。

\(E(XY)=x_1y_1p_{x1}p_{y1}+x_2y_1p_{x2}p_{y1}\)

\(\quad\quad + x_1y_2p_{x1}p_{y2}+x_2y_2p_{x2}p_{y2}\)

\(\quad = (x_1p_{x1}+x_2p_{x2})y_1p_{y1}\)

\(\quad\quad + (x_1p_{x1}+x_2p_{x2})y_2p_{y2}\)

\(\quad = (x_1p_{x1}+x_2p_{x2})(y_1p_{y1}+y_2p_{y2})\)

\(\quad = E(X)E(Y)\)