漸化式を特性方程式を使って解く！【超重要な方法を丁寧にわかりやすく】

こちらの記事でも紹介しましたが、漸化式の重要な形、

\(a_{n+1} = pa_n+q\)

の解き方について説明していきます。

特性方程式や今後につながる漸化式の式変形のスタンスまでサクッと丁寧に解説していきます。

特性方程式とは？

例．\(\begin{cases}
a_{n+1}= 3a_n+4\\
a_1 = 1
\end{cases}\)

この漸化式を解いていきますが、実はこの漸化式、このままでは解けないので「ある変形」をしていきます。

…ですよね。

少し詳しく説明していきましょう。

特性方程式は漸化式を変形させるために重要

実は漸化式には他の分野にあまり無い考え方で式変形をすることがあります。それは…

「こういう式の形だったら嬉しいな！」

という自分の都合のいい結果に式変形する、という考え方です。

今回のテーマである\(a_{n+1} = p a_n +q\)の形はこのままでは解けない、非常に都合の悪い形です。

ではどうするか？というと、

\(a_{n+1}-\alpha = p(a_n-\alpha ) \)の形に変形できれば都合いいですよね！

なぜならば、\(a_n-\alpha=b_n\)と置けば、\(b_{n+1} = a_{n+1}-\alpha\)だから、この漸化式は\(b_{n+1} = p b_n\)となり「\(\{b_n\}\)が等比数列」として処理できるからです。

ということで、上手く\(a_{n+1}-\alpha = p(a_n-\alpha ) \)の形に変形できるような\(\alpha\)を見つけていきましょう。

\(a_{n+1}-\alpha = p(a_n-\alpha ) \)を展開してまとめると、

\(a_{n+1} = pa_n-p\alpha+\alpha \)となります。

これが元の漸化式\(a_{n+1} = p a_n +q\)と等しいので、定数項部分を比較して

\( q = -p\alpha+\alpha \)。このままでもいいのですが、移項して

\( \alpha = p\alpha+ q \)

とすると、ちょうど元の漸化式の\(a_{n+1} \rightarrow \alpha\)、\(a_{n} \rightarrow \alpha\)と置いた方程式の形になります。

この方程式を解けば、\(a_{n+1} = p a_n +q\)を\(a_{n+1}-\alpha = p(a_n-\alpha ) \)の形に変形するための\(\alpha\)の値を求めることができます。

この方程式\( \alpha = p\alpha+ q \)を特性方程式といいます。

特性方程式を使って漸化式を解いてみよう

例．\(\begin{cases}
a_{n+1}= 2a_n-3\\
a_1 = 4
\end{cases}\)を解け。

おまけ

特性方程式を使わなくても、\(n\)をひとつ進めた式を使えば漸化式を解くことができます。

例．\(\begin{cases}
a_{n+1}= 3a_n+4\\
a_1 = 1
\end{cases}\)

まとめ

超重要な、特性方程式を使って解く漸化式についてでした。