三項間漸化式の解き方総まとめ【これを読めば三項間漸化式はカンペキ！】

\( a_{n+2} = a_{n+1} + 6 a_n\)の特性方程式は\(x^2 = x + 6\)なので、

\( x^2 -x -6 = 0 \)
\( (x+2)(x-3) = 0\)
\( x = -2, 3\)

せんせ

この特性方程式を解くところは解答に残さなくても大丈夫です。

（解答）

\( a_{n+2} = a_{n+1} + 6 a_n\)、\(a_1 = 1\)、\(a_2 = 2\)

\( a_{n+2} = a_{n+1} + 6 a_n\)を変形して、
\( a_{n+2} +2 a_{n+1} = 3 ( a_{n+1} +2 a_n) \)

数列{\(a_{n+1} + 2 a_n\)}は初項\(a_2 + 2 a_1 = 2 + 2 = 4\)、公比3の等比数列。
（↑いちいち\(b_n\)と置き換えると面倒だし、初項を間違える可能性があるので、そのまま進めた方がいいです）

よって、\(a_{n+1} + 2 a_n = 4 \cdot 3^{n-1} \)…①

一方、\( a_{n+2} = a_{n+1} + 6 a_n\)を変形して、
\( a_{n+2} -3 a_{n+1} = -2 ( a_{n+1} -3 a_n) \)

数列{\(a_{n+1} – 3 a_n\)}は初項\(a_2 – 3 a_1 = 2 – 3 = -1\)、公比\(-2\)の等比数列。

よって、\(a_{n+1} – 3 a_n = (-1) \cdot (-2)^{n-1} \)…②

①ー②

\(5 a_n = 4 \cdot 3^{n-1} + (-2)^{n-1}\)

\(\displaystyle a_n = \frac{1}{5} \{ 4 \cdot 3^{n-1} + (-2)^{n-1} \} \)…（答）

特性方程式を立式すると、\(x^2 = 3x – 2\)。

\(x^2 -3x + 2 = 0\)
\( (x-1)(x-2) = 0\)
\( x = 1, 2\)

せんせ

特性方程式の解の1つが「\(1\)」のときは階差数列を使って解くこともできます！

（解答）

\(a_{n+2} = 3 a_{n+1} – 2 a_n\)を変形して、
\( a_{n+2} – a_{n+1} = 2 ( a_{n+1} – a_n) \)

数列{\(a_{n+1} – a_n\)}は初項\(a_2 – a_1 = 2 – 1 = 1\)、公比2の等比数列。

よって、\(a_{n+1} – a_n = 2^{n-1} \)…①

せんせ

これは階差数列の一般項を表すので、ここから階差数列の解法にもっていきます。

数列{\(a_n\)}の階差数列の一般項は\( 2^{n-1} \)なので、

\(n \geq 2\)のとき

\(\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2^{k-1}) \)
\(\displaystyle \quad = 1 + \frac{2^{n-1}-1}{2-1} \)
\(\displaystyle a_n = 2^{n-1} \)

これは\(n=1\)のときも成り立つ。

よって\(a_n = 2^{n-1} \)…（答）

（基本の解き方だとこうなります。①までは一緒）

\(a_{n+2} = 3 a_{n+1} – 2 a_n\)を変形して、
\( a_{n+2} -2 a_{n+1} = a_{n+1} -2 a_n \)

数列{\(a_{n+1} -2 a_n\)}は初項\(a_2 -2 a_1 = 2 – 2 = 0\)の定数数列。
（↑解の１つが「\(1\)」のときは定数数列が出てきます。）

よって、\(a_{n+1} -2 a_n = 0\)…②

①ー②

\(a_n = 2^{n-1} \)…（答）

せんせ

慣れたらこっちの方がラクです。

特性方程式を立式すると、\( x^2 = 4x -4\)。

\( x^2 -4x + 4 = 0\)
\( (x-2)^2 = 0\)
\( x = 2\)

せんせ

…重解が出てきてしまいましたね。これ、あとでたろうくんが困ります。

たろぅ

（…出たな。イヤなことだけ当てる預言者め。）

一応\( \alpha = 2\)、\(\beta = 2\)として変形は可能です。（展開して元の式に戻るのを確認してみて下さい）

（解答）

\(a_{n+2} = 4 a_{n+1} -4 a_n\)を変形して、
\( a_{n+2} -2 a_{n+1} = 2 ( a_{n+1} -2 a_n ) \)

数列{\(a_{n+1} – 2 a_n\)}は初項\(a_2 -2 a_1 = 4 – 2 = 2\)、公比2の等比数列。

よって、\(a_{n+1} – 2 a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n\)

たろぅ

…

せんせ

ほら、困った。

ここまできたら、困ったことに気づきますね。\(\alpha\)、\(\beta\)を入れ替えても同じ式が出てきます。

当然、同じ式が出てきても、引いて\(a_{n+1}\)を消去することはできません。

ということで、この式をどうにかするしかありません。

\(a_{n+1} – 2 a_n = 2^n\)
\(a_{n+1} = 2 a_n + 2^n\)

結論から言うと、両辺を\(2^{n+1}\)で割りましょう。

\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2 a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^n}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^{n}} + \frac{1}{2}\)

数列\(\displaystyle \left\{ \frac{a_{n}}{2^{n}} \right\} \)は、初項\(\displaystyle \frac{a_{1}}{2^{1}} = \frac{1}{2}\)、公差\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の等差数列。

よって、\(\displaystyle \frac{a_{n}}{2^{n}} = \frac{1}{2} + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{1}{2}n\)
\(\displaystyle a_{n} = \frac{1}{2}n2^{n} = n 2^{n-1} \)…（答）

一番最初の例題を今の方法で解いてみましょう。

（解答）

\( a_{n+2} = a_{n+1} + 6 a_n\)を変形して、
\( a_{n+2} +2 a_{n+1} = 3 ( a_{n+1} +2 a_n) \)

…\(a_{n+1} + 2 a_n = 4 \cdot 3^{n-1} \)…①

せんせ

ここから、\(\alpha\)、\(\beta\)を入れ替えた変形をせずに、\(3^{n+1}\)で割ります。

\(a_{n+1} = – 2 a_n + 4 \cdot 3^{n-1} \)

両辺を\(3^{n+1}\)で割ると、

\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{- 2 a_n}{3^{n+1}} + \frac{4 \cdot 3^{n-1}}{3^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = -\frac{2}{3}\frac{a_n}{3^{n}} + \frac{4}{9}\)

\(\displaystyle \frac{a_n}{3^{n}} = b_n\)とおくと、

\(\displaystyle b_{n+1} = -\frac{2}{3}b_n + \frac{4}{9}\)

（二項間の特性方程式\(\displaystyle x = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{9}\)を解くと\(\displaystyle x =\frac{4}{15}\)）

\(\displaystyle b_{n+1} -\frac{4}{15} = -\frac{2}{3} \left( b_n – \frac{4}{15} \right)\)

数列\(\displaystyle \left\{ b_n – \frac{4}{15} \right\} \)は、初項\(\displaystyle b_1 – \frac{4}{15} = \frac{a_1}{3^1}- \frac{4}{15} = \frac{1}{15}\)、公比\(\displaystyle -\frac{2}{3}\)の等比数列。

よって、

\(\displaystyle b_n -\frac{4}{15} = \frac{1}{15} \left( -\frac{2}{3} \right)^{n-1}\)
\(\displaystyle \frac{a_n}{3^n} = \frac{4}{15}+\frac{1}{15} \left( -\frac{2}{3} \right)^{n-1}\)
\(\displaystyle a_n = \frac{4}{15}3^n+\frac{1}{15} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n-1}} 3^n\)
\(\displaystyle a_n = \frac{4}{5}3^{n-1}+\frac{1}{5} (-2)^{n-1}\)
\(\displaystyle a_n = \frac{1}{5} \{ 4 \cdot 3^{n-1}+(-2)^{n-1} \} \)…（答）