背理法とは？無理数であることの証明例で教科書で説明しない重要事項とは？

（証明）

「志高湖にはシダカッシー（全長１０m、肉食）はいない」ことを証明するために、背理法を使う。

志高湖にはシダカッシーがいると仮定する。

・全長１０mもあるシダカッシーがいれば目撃例があるはず。志高湖は高々、広さ９００００㎡、水深２〜５mである。志高湖はキャンプも盛んで、湖にはスワンボートまで浮かんでいるのに、目撃例がないのはおかしい。

・全長１０mもあるシダカッシーがいれば、かなりの量の餌が必要である。だが、鯉も白鳥も呑気に過ごしているし、鯉なんか夥（おびただ）しい数泳いでいる。シダカッシーがいればもっと湖は荒れているはずである。

よって志高湖にはシダカッシーがいると仮定すると矛盾が生じるので、元の命題、

「志高湖にはシダカッシーはいない」ことが証明された。

証明に入る前に、少し状況整理をしていきます。

① まず、命題の形をしていないのでわかりにくいですよね。無理矢理にでも命題\(p \rightarrow q\)っぽくしてみましょう。

そもそも「\(\sqrt{2}\)が無理数である」というのが結論なので、これを否定すればいいのですが、

\( x = \sqrt{2}とする \rightarrow xは無理数である\)

とすれば、この命題が\(p \rightarrow q\)の形になります。

② シダカッシーの話ではないですが、「無理数であること」を直接証明するのは難しいです。無理数は「有理数でない実数」という定義なので、正体がわかりにくいです。有理数\(\displaystyle \frac{a}{b}\)の形ではない、という条件は範囲が広すぎます。

③ 逆に背理法のポイントである否定を考えると『「\( x = \sqrt{2}\)」かつ「\(x\)は有理数である」』となるので話がしやすくなります。特に有理数\(\displaystyle \frac{a}{b}\)と置けることは大きいです。無理数じゃどうしていいかわからないですが、有理数なら形を\(\displaystyle \frac{a}{b}\)と表現できます。

せんせ

ということで、今回は背理法で証明すると上手くいきそうです。

（証明）

\(\sqrt{2}\)が有理数であると仮定します。（\(「 x = \sqrt{2}」かつ「xは有理数である」\)と仮定する。）

\(\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}\)（\(a\)、\(b\)は互いに素な自然数）

とおけます。

有理数として置く際には、互いに素な自然数（or整数）で表します。そうしないと有理数の表し方が無限にできるからです。

例．\(\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}= \frac{4}{12}=\cdots\)

さて、\(\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}\)を式変形すると、

\(\sqrt{2}a = b\)

\(2a^2 = b^2\)…①

この式から、\(b^2\)は2の倍数なので、\(b\)も2の倍数…(※)

よって、\(b= 2b’\)とおける。

①に代入して、

\(2a^2 = 4b’^2\)

\(a^2 = 2b’^2\)

ゆえに、\(a^2\)は2の倍数なので、\(a\)も2の倍数。

すると、\(a\)も\(b\)も2の倍数となるので、\(a\)と\(b\)が互いに素であることに矛盾する。

以上から、\(\sqrt{2}\)が有理数であるとすると矛盾が生じるので、\(\sqrt{2}\)は無理数である。（終）

【(※)の補足】

もしかしたら、ここも「なんで？」と思う人がいるかもしれません。

これ（\(b^2\)が2の倍数→\(b\)も2の倍数）も背理法で証明できます。

この命題を否定すると、

\(b^2\)が2の倍数→\(b\)は2の倍数でない（奇数）

すると、\(b=2b’+1\)とおけるが、\(b^2 = (2b’+1)^2 = 4b’^2 + 4b’+1 = 2(2b’^2+2b’)+1\)

となり、\(b^2\)は2の倍数であることに矛盾する。

よって、\(b\)が2の倍数でないと仮定すると矛盾が生じるので、\(b\)は2の倍数である。（終）

せんせ

対偶を使っても証明できますよ。

ある自然数\(k\)について、\(a_k=0\)であるとする。（「全ての自然数\(n\)に対して\(a_n \neq 0\)」の否定は「ある自然数\(k\)について、\(a_k=0\)（どこかに\(a_k=0\)があればいい」）

漸化式より、\( \displaystyle a_{k}=\frac{a_{k-1}}{4a_{k-1}+5}\)なので、\(a_k=0\)のとき\(a_{k-1}=0\)。

これを繰り返すと、\(a_k=a_{k-1}=a_{k-2}= \cdots = a_1 = 0 \)となるが、\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)なので矛盾。

よって、「全ての自然数\(n\)に対して\(a_n \neq 0\)」

「行列ってなに？」という人はこちらの記事もあわせてご覧ください。

行列は数字を行と列に並べて、ひとかたまりにして扱う分野ですが、その計算性質上、ゼロ行列（数字でいう０に相当）でなくても、掛けたらゼロ行列になる、という不思議な現象が起きたりします。

このとき、逆行列（数字でいう逆数に相当）をもたない、という性質があるのですが、これも背理法で証明できます。

\(A\)が逆行列\(A^{-1}\)をもつとする。

\(AB=O\)の左から\(A^{-1}\)を掛けると、\(B=O\)となり、\(B \neq O\)に矛盾する。

よって\(A\)は逆行列をもたない。（\(B\)についても逆行列を右側から掛けることで同様に証明できる）