P（順列）と！（階乗）について、考え方と使用例をわかりやすく説明

数学Aで習う、\(_{n}P_{r}\)の計算方法と意味を解説していきます。\(_{n}C_{r}\)との違いがわからない、という人もいるかもしれません。こちらで解説しているので、あわせて読んでみてください。

P（順列）と！（階乗）の計算方法

計算方法は教科書にも載っているので大丈夫でしょう。

$$ _{n}P_{r} = n \cdot (n-1) \cdots (n-r+1) $$

式にするとわかりにくいですが、\(n\)から１ずつ減らしながら\(r\)個掛けるという操作です。特に\(_{n}P_{n}\)は次のように\(n!\)と表現して計算します。

$$_{n}P_{n}=n!=n\cdot(n-1)\cdots 2 \cdot 1$$

例

$$ _{6}P_{4} = 6\cdot5 \cdot 4 \cdot 3=360 ←「６」から１ずつ減らしながら４個掛ける。$$
$$ 5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$$

P（順列）の使用イメージ

使用する際は「先頭から、何通りの選択肢があるか？を考えて順に掛けていく」というイメージをもちましょう。このイメージをもっておくことを重視して、Pという記号を公式のように扱わない方がよいでしょう。

ただし、前提として「選択肢がすべて区別できる」必要があります。例えば「人」や「すべてが互いに異なる数字」「すべてが互いに異なる記号」などです。区別がつかないものの並べ方、いわゆる「同じものを含む順列」の考え方は以下のページで説明しています。

順列や階乗をどんなときに使うか

まず先ほど述べましたが、「無理にPという記号を使う必要はない」ということは押さえておいてください。上記の使用する際のイメージを持っていれば、Pは「選択肢が何通りある、というのを先頭から順に掛けていっているだけ」ということがわかるはずです。正直あんまりPという記号は使わなくていいんじゃないか、と思います。「Pってなんだ？わかんない！」という人は、無理にPを使うよりも↑の感覚を掴んだ方がよいです。

「委員長などの係を選ぶ」

ありがちなシチュエーション。「先頭から何人か並べる」＝「その順に係を割り当てていく」と考えます。「この並び方や考え方をこう捉えればいいよね」というのは場合の数でよくやるので、押さえておいてください。

例．６人から「委員長、副委員長、書記」を選ぶ。

「６人から３人選んで並べる」＝「先頭から委員長→副委員長→書記と割り当てる」

と考えます。よって、\(_{6}P_{3}=6 \cdot 5 \cdot 4 =120\)（通り）、となります。

「文字や人を並べる」

そのままですね。ただし、こいつらは「男子や女子がまとまりたがる（まとまったものを１つとカウントする)」「隣りあわないように並びたがる（間に入れてやる）」「4桁の数字を作る（先頭が0ではない）」といった性質があります。少し具体的に注意するシチュエーションを見ていきましょう。シチュエーションによって考え方の決まり手があるので、教科書や参考書などで押さえていきましょう。

例１．男子４人女子３人が並ぶとき

（１）女子３人が隣り合わせに並ぶ並び方

（２）女子が隣り合わない並び方

（１）は、まず女子３人を１組と見なして、１組＋男子４人の５組を並べますので、並び方は\(5!\)です。

加えて、それぞれのパターンには、女子３人を並べる並べ方を考えないといけないので、\(3!\)を掛けないといけません。

よって、\(5! \times 3! = 120 \times 6 = 720\)（通り）となります。

（２）は、まず男子の間（両端を含む）５ヶ所のうち３ヶ所を選んで女子を並べます。これで、女子３人が隣り合わない、という条件を表現できます。計算としては\(_{5}P_{3}\)か、もしくは下図のように理解できるなら\(5 \cdot 4 \cdot 3 \)と計算してもよいです。

加えて、男子の並び方を考えて、\(4!\)となります。

よって、\(5 \cdot 4 \cdot 3 \times 4!=1440\)（通り）です。

例２．０、１、２、３の４つの数字をそれぞれ１回ずつ使って４桁の数字を作る。

ポイントは最上位（千の位）の数には「０」が入らない、というところです。最上位に「０」が入ると４桁の数にはなりません。よって、最上位のパターン数は「１」「２」「３」の３通りとなります。

ただし、それ以降（百の位→十の位→一の位）は「０」が入ってもよいので、「０」も含めた、３通り→２通り→１通り、となります。

よって、\(3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 18\)（通り）です。

「円順列」

このあたりから！（階乗）やPという記号も使いますが、公式に頼らず、考え方をしっかりと身につけてください。結果それが近道です。ちなみに円順列は「１人（個）固定」＋「その他のメンバーの順列」という考え方です。

「(n)人の円順列が((n-1)!)」と覚えちゃうのは微妙です。

まとめ

！（階乗）はよく使いますが、正直P（順列）は使っても使わなくても問題ないと思います。模範解答などではよく使っていますが、あまりそこにとらわれずに本質的なところを理解した方が応用も効きます。