C（組み合わせ）の性質とP（順列）との違いを具体例を用いて説明！

2022年9月19日2023年1月7日

P（順列）に続いて教科書で習うC（組み合わせ）。このあたりを習い始めて「PとCはどう違うんだ？」とか「どういうときにPを使うのか、Cを使うのかわからん！」と疑問に感じる人が増えてきます。

ここではCの基本的な計算方法から、Pとの違いまでを押さえていきます！

この記事はこんな人にオススメ

C（組み合わせ）の知っておいた方がいい基本的な性質を押さえたい！
P（順列）とC（組み合わせ）の使い方の違いを知りたい

C（組み合わせ）の基本

まずはC（組み合わせ）の基本的な計算や性質を押さえていきます。

Cの計算は以下のようになります。

$$ _{n}C_{r} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-r+1)}{r \cdot (r-1) \cdots 2 \cdot 1} $$

せんせ

次のように計算方法をとらえるといいと思います。

また、次の性質は計算上よく使います。

$$ _{n}C_{r} = _{n}C_{n-r} $$

$n$個のものから$r$個とってくる組み合わせは、$n$個のものから、とってこない方の$(n-r)$個を選ぶのと一緒、という意味です。

問題のレベルが上がってくると、次の！（階乗）を使った計算表現もよく使います。覚えておいた方がよいですね。

$$ _{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

P（順列）とC（組み合わせ）の違い

たろぅ

ん？そういえば、この間同じような計算をする公式を習ったな…。確か、P（順列）、だったっけ？何が違うんだろ？

はなこ

確か、P（順列）は「何かを並べる」ようなときに使ったよね。

たろぅ

そうだったかな…そもそもP（順列）ってどう計算するんだっけ？

P（順列）とC（組み合わせ）の違いの簡単な例

例１．１、２、３、４、５の数字から2つをとってきて2桁の数を作る場合の数は？

これはPを使います。計算方法は、

$_5P_2=5 \cdot 4 =20（通り）$

です。例えば、1と2を使う2桁の数でも「1、2（つまり12）」と「2、1（つまり21）」では違う数になるからです。

順番を考える必要があるのでP（順列）を使います。

例2．１、２、３、４、５の数字から2つをとってくる組み合わせの数は？

「組み合わせ」と言っているので、C（組み合わせ）を使います。もう少し丁寧に説明すると「順番を考慮する必要がないから」です。

$_5C_2=\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} =10（通り）$

となります。

先ほどと違って、1と2をとってくる組み合わせだけを考えるので「1、2」も「2、1」も組み合わせとしては同じものだと言えます。

順番を考える必要がないのでC（組み合わせ）を使います。

C（組み合わせ）がなぜこのような計算をするか、については次の記事に書いています。

P（順列）とC（組み合わせ）の違いの具体例

たろぅ

よし、わかった！「順番を考える」→P（順列）を使う。「順番を考える必要がない」→C（組み合わせ）を使うんだな！

せんせ

その通り！それでは、PとCの違いを考えながら、より実践的な例を見ていきましょう。

問．リンゴ、バナナ、みかん、ぶどう、なし、ももが１つずつ、合計６個あります。それを次の様に分けるとき、Cを使って計算すべきものはどれでしょうか？

6個から3個とってくる場合の数。
6個から選んで、3人に1個ずつ配る場合の数。
2個を選んでA組に配り、残り4個から2個をB組に配る場合の数。
1個を選んでそれをニ割引に、残り5個から1個を選んでそれを三割引にする場合の数。

1の答え

これはCで計算します。3つとってくる果物はとってくるだけで、その中で順番をつけているわけではないからです。$_6C_3$で計算。

2の答え

これはCで計算しません。例えば同じ「リンゴ、バナナ、みかん」の組み合わせでも「Aさん→リンゴ、Bさん→バナナ、Cさん→みかん」と配るのと、「Aさん→リンゴ、Bさん→みかん、Cさん→バナナ」と配るのでは異なるものとして数えなければならないので、自然と順番を考えていることになります。よって、Cではなく$_6P_3$で計算すべきです。

3の答え

Cで計算します。2個選んでA組に配っても、その中で順番をつけているわけではないからです。その中でさらに人に配る、とかならPを使いますが。$_6C_2 \cdot _4C_2$で計算します。

4の答え

どちらでもいいです。「二割引になるものを選んで、そのあと三割引になるものを選ぶ」という考え方なら$_6C_1 \cdot _5C_1$。「二割引→三割引に順番に果物を割り当てていく」という考え方なら$_6P_2$です。自分がどう考えているかを正確に式にしていきましょう。

Pとの使い分けとして考えるべきポイントは、潜在的な考え方も含めて順番をつけて考えているか？という点です。割り当てるべき事柄を選んだ後、先頭から順に選んだものを割り当てる必要があると考えた場合はPを使いましょう。

せんせ

ここまで理解できていれば大丈夫！