逆行列は行列の割り算!?２次の逆行列の求め方と意味を丁寧に説明

2023年3月22日

逆行列は普通の数でいうところの逆数に相当します。

逆行列を掛けることは、普通の数で言うと「割り算」をすることになるので、とても大事な操作なのですが、この逆行列…一筋縄ではいかないんです…。

この記事では基本的な２次の正方行列の逆行列の求め方を押さえていきます。

せんせ

とりあえず２次の逆行列が求められるようになりましょう。
３次以降は実践的には「掃き出し法」という計算法で求めていくことになります。

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逆行列を求める

行列\(A\)の逆行列を\(A^{-1}\)（エーインバース）といい、

\(AA^{-1}=A^{-1}A=E\)（\(E\)は単位行列）

を満たすものとします。

２次の正方行列の逆行列を求める

せんせ

とりあえずここは結論から述べていきましょう。

２次の正方行列、\(A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)とすると、

\(\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

となります。

もう少し詳しい話は後ほど。

（証明、というより確かめてみる）

\(\displaystyle AA^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} ad-bc & a(-b)+ba \\ cd+d(-c) & c(-b)+da \end{pmatrix}\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} ad-bc &0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}\)

\(\displaystyle \quad = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(A^{-1}A\)については割愛。試しに計算してみてください。

となり、確かに\(A\)に対して\(\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)が逆行列となっていることがわかります。

ここで、\(ad-bc\)に目がいった人はかなりお目が高いですね。

たろぅ

\(ad-bc\)が、もし0になっちゃったらどうなるの？

はい！これがこの逆行列の最大のポイントですね！

この\(ad-bc\)のことを２次の正方行列の行列式といいます。

行列式は２次に関わらず、その値を調べることで色々なことがわかる量で、行列の重要な要素です。

今回のように逆行列を求める際には、必ず行列式が分数の分母として必要になってきます。

つまり、この行列式\(ad-bc=0\)になると、分母が0になってしまうので、逆行列そのものが存在しないことになってしまいます。なので…

逆行列の求め方と行列式

２次の正方行列\(A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)について、

\(ad-bc\)を行列式といい\(|A|\)や\(detA\)（ディターミナントエー）と書きます。

ちなみに、\(|A|=ad-bc\)なので、行列式の計算結果は行列ではなく普通の数（スカラー）になります。

行列式\(|A|\)を踏まえると、逆行列は…

\(|A|=ad-bc = 0\)のとき、逆行列\(A^{-1}\)は存在しない。
\(|A|=ad-bc \neq 0\)のとき、逆行列\(\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)となる。

ちなみに、\(|A| \neq 0\)である行列\(A\)を正則である、といい、\(|A| = 0\)である行列\(A\)を正則でないといいます。

せんせ

これが行列式のことまで考えた逆行列の求め方ですね。

３次以上の正方行列の逆行列

３次以上の正方行列の逆行列を求めるためには、線形代数のいくつかのテクニックが必要になってきます。

せんせ

それぞれのテクニックは解説するのが結構大変です汗
ですので、今回は求める公式と方法だけ紹介しておきます。
これらの行列のテクニックは、またそのうちまとめます。

３次以上の正方行列の逆行列の求め方

\(n\)次の正方行列\(A\)が正則のとき（逆行列が存在するとき）、逆行列\(A^{-1}\)は

行列式\(|A|\)と余因子行列\(\tilde{A}\)を使って、\(\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} \)と表せる。

一見シンプルですし、『２次の正方行列の逆行列の正規拡張版』なのですが、「\(n\)次の行列式の求め方」、「余因子展開の方法」とそれを使った「余因子行列の求め方」を知っておかないといけないので、このやり方で逆行列を求めるのはかなりハードルが高いです。必要な知識が多いだけでなく、計算量もメチャクチャ多くなります。