中間値の定理とは？【証明から注意点、実際の使い方について】

いくつか証明方法がありますが、個人的に面白いと思う区間縮小法で証明してみましょう。（特に区間縮小法という名前にこだわる必要はありません、「こんなやり方があるんだなぁ」程度でOKです。）

（証明）

まず、\(f(a) < k < f(b)\)として考えます。（\(f(a)> k > f(b)\)でも同じように証明できます。）

次に、数列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)を次のように定めます。

① \(a_1 = a\)、\(b_1 = b\)

② \(\displaystyle f \left( \frac{a_n + b_n}{2} \right) \leq k\)のとき

　\(\begin{cases} \displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \\ b_{n+1} = b_n \end{cases}\)

　\(\displaystyle f \left( \frac{a_n + b_n}{2} \right) > k\)のとき

　\(\begin{cases} a_{n+1} = a_n \\ \displaystyle b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \\ \end{cases}\)

すると、数列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)は次のような性質をもちます。証明はのちほど。

（ⅰ）\(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n < b_n \leq b_{n-1} \leq \cdots b_1 \)

（ⅱ）\(\displaystyle b_{n} – a_{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}(b-a)\)

（ⅲ）\( f(a_n) \leq k < f(b_n) \)

（ⅰ）より、有界な単調増加（減少）数列は収束する（この値を超えない、というラインがあって、増加し続ける数列は収束するという性質があります。単調減少も同じ。）

ので、数列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)はそれぞれ収束します。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha\)、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = \beta\)とおくと、

（ⅱ）より、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n -a_n) = 0\)なので、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n\)。よって、\(\alpha = \beta\)。

\(\alpha = \beta = c\)とすると、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(\alpha) = f(c)\)、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(b_n) = f(\beta) = f(c)\)なので、（ⅲ）より、はさみうちの原理から、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}k = f(c)\)。よって、\(k = f(c)\)。（終）

【（ⅰ）の証明】

下の図で証明したこと、としましょう。

【（ⅱ）の証明】

\(\displaystyle f \left( \frac{a_n + b_n}{2} \right) \leq k\)のときでも、\(\displaystyle f \left( \frac{a_n + b_n}{2} \right) > k\)のときでも、

\(\displaystyle b_{n+1} -a_{n+1} = \frac{1}{2}(b_n-a_n)\)となります。（実際に計算してみて下さい！）

数列\( \{ b_n-a_n \} \)は初項\(b_1 – a_1 = b-a\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の等比数列なので、

\(\displaystyle b_{n} – a_{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}(b-a)\)（終）

【（ⅲ）の証明】

\( f(a_n) \leq k < f(b_n) \)を示す。

数学的帰納法より、

\(n=1\)のとき\( f(a_1) \leq k < f(b_1) \)を示さなくてはならないが、最初に\(f(a) < k < f(b)\)と条件をつけたので成立。

\(n = l\)のときに\( f(a_l) \leq k < f(b_l) \)が成り立つと仮定する。

\(n = l+1\)について、

\(\displaystyle f \left( \frac{a_l + b_l}{2} \right) \leq k\)のとき、\(\begin{cases} \displaystyle a_{l+1} = \frac{a_l + b_l}{2} \\ b_{l+1} = b_l \end{cases}\)なので、

　\(\displaystyle f(a_{l+1}) = f \left( \frac{a_l + b_l}{2} \right) \leq k\)が成り立ち、
　仮定より\(k < f(b_l) = f(b_{l+1})\)なので、
　\(f(a_{l+1}) \leq k < f(b_{l+1}) \)。

\(\displaystyle f \left( \frac{a_l + b_l}{2} \right) > k\)のとき、\(\begin{cases} a_{l+1} = a_l \\ \displaystyle b_{l+1} = \frac{a_l + b_l}{2} \\ \end{cases}\)なので、

　仮定より\(f(a_{l+1}) = f(a_l) \leq k\)、
　また、\(\displaystyle k < f \left( \frac{a_l + b_l}{2} \right) = f(b_{l+1})\)が成り立つので、
　\(f(a_{l+1}) \leq k < f(b_{l+1}) \)。

以上から、\( f(a_n) \leq k < f(b_n) \)。（終）