平均値の定理とは？様々な「平均値の定理」完全版！【証明から例題まで】

（証明）

(ⅰ) 区間内で\(f(x) = c\)（定数関数）のとき

　\(f(a) = f(b)\)は満たすし、定数関数なので\(f'(x) = 0\)
　つまり、\(a < c < b\)のどの\(c\)でも\(f'(c) =0\)となります。

せんせ

ここからは、ちょっとでも\(f(a)\)（\( = f(b)\)）より大きい部分があるとき、小さい部分があるとき、に分けて証明していきます。

(ⅱ) \(f(a) < f(t)\)となる\(t\)があるとき（\(f(a)\)よりも大きい部分があるとき）

　最大値の定理（有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ）より、
　\(a < c < b\)で\(f(c)\)が最大となるような\(c\)が存在します。

　この最大となる\(c\)で\(f'(c) = 0\)となることを示します。

　\(f(c)\)は最大値なので、ちょっとでもずれた\(x = c+h\)について、\(f(c) \geq f(c+h)\)が成り立ちます。

　また、\(x = c\)で微分可能なので、次の２つの極限値は存在します。
　が、\(f(c) \geq f(c+h)\)より、同時に符号もわかります。
　\(\displaystyle f'(c) = \lim_{h \to +0} \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \leq 0\)
　\(\displaystyle f'(c) = \lim_{h \to -0} \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \geq 0\)

　よって、この２つの式を同時に満たす\(f'(c)\)は\(f'(c)=0\)しかありません。

(ⅲ) \(f(a) > f(t)\)となる\(t\)があるとき（\(f(a)\)よりも小さい部分があるとき）

　（ⅱ）と同様に、\(a < c < b\)で\(f(c)\)が最小となるような\(c\)が存在します。
　あとの証明方法は（ⅱ）の最大値を「最小値」と読み替えれば同じなので割愛します。

（終）

（証明）

いきなりですが、

\(\displaystyle g(x) = f(x) – \left\{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) + f(a) \right\} \)

という関数（差関数、という）を考えます。

せんせ

ちなみに、\(f(x)\)から引いている部分、\(\displaystyle　y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) + f(a)\)は直線ABのことですね。

この関数は、

\(\displaystyle g(a) = f(a) – \left\{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) + f(a) \right\} = f(a) -f(a)= 0 \)
\(\displaystyle g(b) = f(b) – \left\{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) + f(a) \right\} =f(b)-(f(b)-f(a)+f(a)) = 0 \)

なので、\(g(x)\)は、区間\( [a , b]\)で連続で、区間\( (a, b) \)で微分可能の、\(g(a) = g(b)\)を満たす関数。

よって、ロルの定理が使えて\(g'(c) = 0\)となる\(c\)が\(a\)から\(b\)の間（\(a < c < b\)）に存在する。

ここで、\(\displaystyle g'(x) = f'(x) -\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)なので、\(\displaystyle g'(c) = f'(c) -\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0\)。

したがって、

\(\displaystyle \frac{f(b) – f(a)}{b-a} = f'(c)\)となる\(c\)が\(a\)から\(b\)の間（\(a < c < b\)）に存在する。（終）

ド定番ですね。

\(\displaystyle \frac{e^b-e^a}{b-a}\)みたいな感じで

「\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)の形（or変形した形）が見える不等式」＋「その不等式に\(f(x)\)を微分した形が見える」

状況であれば、平均値の定理が使えます。

（証明）

\(f(x) = e^x\)とおくと、\(f(x)\)は区間\( [a , b]\)で連続で、区間\( (a, b) \)で微分可能なので、

\(\displaystyle \frac{f(b) – f(a)}{b-a} = \frac{e^b-e^a}{b-a} = f'(c)\)となる\(c\)が\(a < c < b\)に存在する。

一方、\(f'(x) = e^x\)は単調増加なので、

\(a < c < b\)より、\(f'(a) < f'(c) < f'(b)\)（←条件からこの不等式を作るのがポイント）

よって、\(\displaystyle e^a < \frac{e^b-e^a}{b-a} < e^b\)（終）

これも定番ですが、平均値の定理を使う形が見えにくいので難易度は高めです。

ポイントは(2)の、一見漸化式の特性方程式を解いて変形したかのような形ですね。

もちろん、不等式ですし、そもそも与えられた漸化式が解けないので、この不等式の出どころは漸化式を変形したわけではありません。

ではどうするか…平均値の定理を使います！

（解答）

(1)は割愛。数学的帰納法を使えば証明できます。
(2)から解答していきます。

\(\displaystyle f(x) = 3-\frac{2}{x}\)とすると、\(f(x)\)は\( [2, a_n]\)で連続で、区間\( (2, a_n) \)で微分可能なので、

\(\displaystyle \frac{f(a_n) – f(2)}{a_n-2} = \frac{a_{n+1} -2}{a_n-2}= f'(c)\)となる\(c\)が\(2 < c < a_n\)に存在する。
（漸化式から\(\displaystyle f(a_n) = 3 – \frac{2}{a_n} = a_{n+1}\)、\(\displaystyle f(2) = 3 -\frac{2}{2} = 2\)）

一方、\(\displaystyle f'(x) = \frac{2}{x^2}\)は\(2 < x < a_n\)において単調減少なので、

\( 2 < c (< a_n)\)から、\(f'(2) > f'(c)\)。

よって、\(\displaystyle \frac{1}{2} > \frac{a_{n+1} -2}{a_n-2}\)

\(a_n-2>0\)なので、\(\displaystyle a_{n+1} -2 < \frac{1}{2}(a_n -2) \)（終）

また、\(\displaystyle 0 < a_{n+1} -2 < \frac{1}{2}(a_n -2) \)となるので、

\(\displaystyle 0 < a_{n+1} -2 < \frac{1}{2}(a_n -2) < \left(\frac{1}{2}\right)^2(a_{n-1} -2) < \cdots <\left(\frac{1}{2}\right)^n(a_{1} -2) \)

\(a_1=3\)より、\(\displaystyle 0 < a_{n+1} -2 < \left(\frac{1}{2}\right)^n \)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \)から、はさみうちの原理より

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} -2) = 0\)。つまり\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n} -2) = 0\)となるので、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = 2\)…（答）

（別解１）

（右辺）ー（左辺）\(\displaystyle = \frac{1}{2}(a_n -2) – (a_{n+1} -2)\)
\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2}(a_n -2) – (3-\frac{2}{a_n} -2) = \frac{a_n^2 -4a_n + 4}{2a_n} = \frac{(a_n -2)^2}{2a_n} > 0\)

（別解２）

\(\displaystyle a_{n+1} = 3 – \frac{2}{a_n}\)より、

\(\displaystyle a_{n+1} -2 = 3 – \frac{2}{a_n} -2 \)
\(\displaystyle \quad = 1- \frac{2}{a_n} = \frac{1}{a_n}(a_n – 2) < \frac{1}{2}(a_n – 2)\)

（なぜならば、\(a_n > 2\)だから）