組み合わせ（C）とは？【基本的な計算方法と順列（P）との違いを説明！】

これはPを使います。計算方法は、

\(_5P_2=5 \cdot 4 =20（通り）\)

です。例えば、1と2を使う2桁の数でも「1、2（つまり12）」と「2、1（つまり21）」では違う数になるからです。

順番を考える必要があるのでP（順列）を使います。

これはC（組み合わせ）を使います。もう少し丁寧に説明すると「順番を考慮する必要がないから」ですね。計算は

\(_5C_2=\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} =10（通り）\)

となります。

先ほどと違って、1と2をとってくる組み合わせだけを考えるので「1、2」も「2、1」も組み合わせとしては同じものだと言えます。

順番を考える必要がないのでC（組み合わせ）を使います。

たろぅ

…いきなりよくわかんなくなったぞ。なんか似たような状況で、イマイチ区別がつかないんだけど。

せんせ

似たような状況ですが、順番を考えるべきか？がポイントになります。(3)はCの応用ですね。

(1)　これはCで計算します。3個の果物はとってくるだけで、その中で順番をつけているわけではないからです。

6個の中から3つ選ぶ組み合わせなので、

\(\displaystyle _6C_3=\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2\times 1}=20\)（通り）。

(2) 　これはPで計算します。

例えば同じ「リンゴ、バナナ、みかん」の組み合わせでも

「Aさん：リンゴ → Bさん：バナナ → Cさん：みかん」と配るのと、「Aさん：リンゴ → Bさん：みかん → Cさん：バナナ」と配るのは別物として考えないといけませんよね？

つまり、6個の果物のうち3個を、Aさん→Bさん→Cさんの順番に配っていることになります。

よって、\(_6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120\)（通り）。

もしくは、単純に「Aさん：6通り → Bさん：5通り → Cさん：4通り」と考えてもいいです。無理にPを使う必要はありません。

(3)　これはちょっと応用の考え方ですが、Cを使って計算します。

たろぅ

(2)と配る個数が変わっただけなのに、なんで(2)はPで、(3)はCなんじゃあ…

と思うかもしれません。

せんせ

実際にCを使って解いてみましょう！

まずは、Aさんに2個配るための果物を選ばないといけません。この段階では選んだ2個の果物に順番をつける必要はないので、

\(_6C_2\)（通り）

となります。

次に、Bさんに2個配るための果物を選ばないといけません。これも同様に、\(_4C_2\)通り（←2個減ってるから、4個のうちから2個選ぶことになる）です。

最後に、Cさんに2個配るための果物を選ばないといけません。\(_2C_2\)通りです。（実際は残った2個を問答無用にCさんに配るので、1通りです。）

よって、\(\displaystyle _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1}\frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 15 \times 6 \times 1 = 90\)（通り）。

【補足】

(2)では、「Aさん：6通り → Bさん：5通り → Cさん：4通り」だから「\( 6 \times 5 \times 4\)」と計算しました。

これは、単純に1個選べばいいので、6通り→5通り→4通り、とすぐにわかったんですね。

(3)は、この「6通り→5通り→4通り」がすぐにわからないので、それぞれ\(C\)を使って計算したんだ、と思ってください。

せんせ

なので、実は組み合わせと順列の考え方を両方使っています。

コチラの記事でも説明しましたが、「順列＝Pで計算」と考えているとこういうときにわかりにくくなります。

あくまでPは表現方法です！実際は「順番に何通りずつあるか？」を掛ける、という考え方の方を押さえておいてください。