相関係数の求め方や範囲が-1≦r≦1になる理由って？

2022年9月20日2023年12月12日

相関係数…ご存知でしょうか？

高校数学で言えば、数学Iの「データの分析」で出てくるのですが、相関係数は、２つの変量の間にどのような関係があるか？を数値化したものです。

ただ、教科書でも相関係数の基本的な部分は押さえますが、実はあまり詳しく述べられることがありません。

ここでは、相関係数の基本的な性質から、なぜそのような値を考えたりそのような範囲になるのか？について解説していきます。

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相関係数とは？

いきなりですが、「データの相関」というものを実感してもらうために、データの例をあげておきます。

例．以下のデータはAさん〜Jさんまでの、国語と英語、国語と数学、国語と理科のテストの得点を並べたものです。

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
国語	50	70	40	90	65	30	30	80	85	60
英語	55	60	40	95	75	20	45	65	90	60

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
国語	50	70	40	90	65	30	30	80	85	60
数学	80	65	50	40	90	55	30	40	90	75

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
国語	50	70	40	90	65	30	30	80	85	60
理科	45	40	75	35	25	80	75	35	30	40

これらのデータの組み合わせを横軸、縦軸に平面状にプロットしたものを散布図、といいます。国語ー英語、国語ー数学、国語ー理科の散布図は次のようになります。

右肩上がりになるほど「正の相関がある」といいます。

右肩下がりになるほど「負の相関がある」といいます。

正の相関も負の相関もないときに「相関がない」といいます。

相関係数の求め方

相関係数は計算が結構大変ですが、求め方を載せておきます。

まずは共分散というものを求めます。

共分散

２つの変数の組$ x_i$、$ y_i $（$i = 1 , 2 , \cdots , n$ ）について、$ x_i$、$ y_i $の平均をそれぞれ$ \bar{x}$、$ \bar{y} $とすると、共分散$ s_{xy}$は

$$\displaystyle s_{xy}= \frac{1}{n} \{ (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\cdots+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y}) \}$$

で求めることができる。

共分散は、それぞれのデータ$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$において、右肩上がりのラインに近ければ＋（プラス）、右肩下がりのラインに近ければー（マイナス）の値をとります。

この共分散$ s_{xy}$を使って、相関係数は次のように計算することができます。

相関係数

$ x_i$、$ y_i $の標準偏差$s_x$、$s_y$と共分散$ s_{xy}$とすると、相関係数$r$は

$\displaystyle r=\frac{ s_{xy}}{s_x s_y}$

で求めることができる。

ちなみに標準偏差は$\sqrt{分散}$で求めることができます。具体的には、

$$ \displaystyle s_x=\sqrt{\frac{1}{n} \{ (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2 \}} $$

で計算します。ですので、相関係数は１つ１つのデータからガチンコで計算すると、実質次のような計算になります。

相関係数の具体的な計算方法

$\displaystyle r=\frac{ s_{xy}}{s_x s_y}$

$$\displaystyle =\frac{\frac{1}{n} \{ (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\cdots+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y}) \} }{ \sqrt{ \frac{1}{n} \{ (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2 \} } \sqrt{\frac{1}{n} \{ (y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\cdots+(y_n-\bar{y})^2 \}}}$$

$$\displaystyle =\frac{ (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\cdots+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y}) }{\sqrt{ (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2 } \sqrt{ (y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\cdots+(y_n-\bar{y})^2 }}$$

たろぅ

…せんせい！僕はもう相関係数を求めたくありません！

せんせ

うん、そうですね、わかりますよ。

たろぅ

え？じゃあ計算しなくていいですか？

せんせ

いや、まぁ面倒ですけど、計算してください。

たろぅ

なぜじゃあ…。

相関係数を手で計算するのは大変です。表で上手くまとめたり、散布図を使ったりして計算していきましょう。

ちなみに、共「分散」と標準偏差＝$\sqrt{（分散）}$を使うので、よく、

$\displaystyle r = \frac{（共分散）}{（xの分散）（yの分散）} $

と間違えやすいです。

分子の（共分散）→$x$、$y$の二次式、分母の標準偏差×標準偏差→$\sqrt{（xの二次式）}$×$\sqrt{（yの二次式）}$→実質の次数として$x$、$y$の二次式

という、分母、分子の変数の次数が揃っているか確認するといいです。

共分散の基本的な性質

① 共分散$r$は$-1 \leq r \leq 1 $の範囲になります。

なぜそうなるのか？は後で説明します。

② 共分散は$1$に近ければ「正の相関」、$-1$に近ければ「負の相関」、$0$に近ければ「相関なし」と言えます。

せんせ

もう一度最初の散布図を見てみましょう。

確かに、共分散と散布図には上記のような結びつきが見られますね。

よく相関係数の範囲を$0 \leq r \leq 1$なんかと間違える人がいますが、「正の相関」「負の相関」という言葉のイメージと合わせると覚えやすいです。

ちなみに、相関の目安ですが、

$r$が0.7〜1（-0.7〜-1）：強い相関あり
$r$が0.4〜0.7（-0.4〜-0.7）：やや相関あり
$r$が0.2〜0.4（-0.2〜-0.4）：弱い相関あり
$r$が0〜0.2（0〜-0.2）：ほとんど相関なし

となります。

相関係数の範囲はなぜ「-1≦r≦1」なのか？証明！

これはあまり触れられることが多くないのですが、面白いので証明しておきます。

こちらで説明している「コーシーシュワルツの不等式」を使いますので、そちらもあわせて確認してみてください！

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（証明）

コーシーシュワルツの不等式から

$$ (a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2 +\cdots +b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2+ \cdots + a_n b_n)^2 $$が成り立つ。

$ (a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2 +\cdots +b_n^2) \geq 0 $なので、両辺を$(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2 +\cdots +b_n^2) $で割って、

$$\displaystyle 1 \geq \frac{(a_1 b_1 + a_2 b_2+ \cdots + a_n b_n)^2}{(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2 +\cdots +b_n^2)} $$

つまり、

$$\displaystyle -1 \leq \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2+ \cdots + a_n b_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2 +\cdots +b_n^2}} \leq 1 $$

（↑$x^2 \leq 1$を解くと$-1 \leq x \leq 1$となることを利用した）

ここで、

$a_1 \rightarrow (x_1-\bar{x})$、$a_2 \rightarrow (x_2-\bar{x})$、…、$a_n \rightarrow (x_n-\bar{x})$、

$b_1 \rightarrow (y_1-\bar{y})$、$b_2 \rightarrow (y_2-\bar{y})$、…、$b_n \rightarrow (y_n-\bar{y})$

に置き換えると、

$$\displaystyle -1 \leq \frac{ (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\cdots+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y}) }{\sqrt{ (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2 } \sqrt{ (y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\cdots+(y_n-\bar{y})^2 }} \leq 1$$

よって上記の「相関係数の具体的な計算方法」の式から

$ -1 \leq r \leq 1 $が成り立つ（終）

せんせ

コーシーシュワルツの不等式を使えば、かなりエレガントに証明できるので面白いですね。