数列の基本！等差数列を基礎から徹底的に解説【公式の覚え方のイメージも】

数列の基本、等差数列…。

基本ではあるのですが、数列は公式が複雑になりがちです。

この記事では、等差数列の基本と公式のイメージを図を使いながら説明していきます。

等差数列とは？

（１時間経過…）

ということで、等差数列です。

２、４、６、８…とか１０、２０、３０、４０…とよく数えますよね。

このように、ある一定の数ずつ増えていく（もしくは減っていく）数列のことを等差数列といいます。

上の例は２ずつ増えたり、１０ずつ増えていくので等差数列といえます。（若干無理がある気もしますが…）

もう少し数学的に言うと、等差数列は「前の項に、ある一定の数を足すことで次の項が得られる数列」です。

等差数列を決定するのは、初項\(a\)と足していく「一定の数」\(d\)です。この「一定の数」のことを公差といいます。

等差数列は数列の基本です。公式や重要なイメージを確認していきましょう！

等差数列の一般項の公式

等差数列の一般項（第\(n\)番目の項）は次のようになります。

一般項（第\(n\)番目の項）は\(a_n = a + d +d +d +\cdots + d = a + (n-1)d\)と計算できます。

一般項\(a_n\)を出しておけば、\(n\)に必要な数や文字を代入することで、すぐに「第◯項」を求めることができるので、数列において一般項を求める作業はかなり重要です。

ちなみに「等差数列の一般項を求めなさい」という問題を出したら、式整理をしない人がたまにいるんですよね…式整理はしてください。

例．初項2、公差3の等差数列の一般項は、\(a_n = 2 + (n-1)3\)（←ここで終わらせない）。よって、\(a_n=3n-1\)（←ここまで整理する。）

等差数列の和の公式

数列では、初項から第\(n\)項までの和もよく求めます。

例．\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots +n = \frac{1}{2}n(n+1) \)など。（←なぜこうなるかは後ほど）

等差数列の第\(n\)項までの和の公式は次のようになります。

冒頭の\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots +n = \frac{1}{2}n(n+1) \)は、

初項\(1\)、末項\(n\)、項数\(n\)の等差数列の和

と言えます。よって、公式を使うと、\(\displaystyle \frac{1}{2}n(1+n)=\frac{1}{2}n(1+n) \)となります。

まとめ

等差数列の基本と公式の確認でした。

特に公式は「覚えるのが苦手…」という人も多いです。

文字の羅列ではなく、イメージを押さえながら実際に使って覚えていきましょう。