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微分の練習問題まとめ【基本から応用まで・無料で解答付き】
微分は公式を覚えるだけでなく、「グラフの接線」「増減」につなげて理解できるかがポイントです。
導関数の基本計算から、接線の方程式、合成関数の微分まで、段階的に確認できる練習問題をまとめました。まずは自分の力で解いてみて、解答と照らし合わせてみてください。
たろぅこの記事では数学Ⅱの微分の練習が解説付きでできますよ！
ぜひ数学の勉強に役立ててくださいね！
目次
基本編
問题1：導関数の基本計算①
\(f(x)=x^4-3x^2+2\)を微分しなさい。
解答・解説
解答：\(f'(x)=4x^3-6x\)
【解説】
各項を微分すると \((x^4)’=4x^3\)、\((-3x^2)’=-6x\)、定数項の微分は0。よって \(f'(x)=4x^3-6x\)。
問题2：導関数の基本計算②
関数\(f(x) = x^3 – 4x^2 + 5x – 2\)を微分しなさい。
解答・解説
解答：\(f'(x) = 3x^2 – 8x + 5\)
【解説】
各項を微分すると、\((x^3)’=3x^2\)、\((-4x^2)’=-8x\)、\((5x)’=5\)、定数項の微分は0。よって \(f'(x)=3x^2-8x+5\)。
せんせ単純に微分するだけですが、計算ミスには注意です
標準編
問题3：接線の方程式
曲線 \(y=x^3-3x\) 上の点 \((2,2)\) における接線の方程式を求めよ。
解答・解説
解答：\(y=9x-16\)
せんせ微分と接線の傾きにはメチャクチャ深い関係があります！
接線の傾きは「微分した式に接線の\(x\)座標を代入すれば出てくる」と覚えておいてください！
代入するんですよ！代入するのを忘れないで！
【解説】
\(y’=3x^2-3\)。
\(x=2\) のとき \(y’=3\times4-3=9\)
よって、点 \((2,2)\) を通り傾き9の直線は \(y-2=9(x-2)\) より \(y=9x-16\)。
発展編
問题4：合成関数の微分
\(f(x)=(2x+1)^3\)を微分しなさい。
解答・解説
解答：\(f'(x)=6(2x+1)^2\)
この「合成関数」のやりかたは正確には数学Ⅲの範囲ですが、数学Ⅱの微分でも知っておいた方がいいテクニックです！
合成関数の微分
\( \{ f(g(x)) \}’ = f'(g(x)) \times g'(x) \)
たろぅ…なに言ってんの？
という声が聞こえてきそうです。
要は、
「ある関数（箱）にある関数（中身）が入っている状態」だったら、「箱を普通の感覚で微分（中身入り）したものに中身を微分したものを掛けたら微分完了」という性質です。
ex \(f(x)=(x-1)^2\)を微分するとき、
\((□)^2\)という箱の中に\(□=x-1\)という中身が入っている
と見なします。そして、「箱を普通の感覚で微分（中身入り）✕中身の微分」と考えると、
\(2(x-1)^1 \times 1=2(x-1)\)
となります。
解説：合成関数の微分より、\(f'(x)=3(2x+1)^2\times(2x+1)’=3(2x+1)^2\times2=6(2x+1)^2\)。
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微分の基本の意味や積分とのつながりをもう一度確認したい人は、こちらの解説記事もあわせてどうぞ。
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