剰余の定理とは？【式の仕組みをイメージすれば意味がわかる！】

数学IIで出てくる剰余の定理。

理屈は簡単なんですが、意外とパッと言われて深堀りしないので

となりがちです。

この記事では剰余の定理の本質的な意味と押さえておくべきポイントをわかりやすく説明していきます。

剰余の定理とは？

ということで剰余の定理です。

剰余の定理は多項式を１次式で割った余りを求める定理ですが、そのポイントは式で割ったときの余りじゃない部分にあります。

剰余の定理は式の仕組みをイメージする！

剰余の定理はこの式だけを見ていても何をいっているのかわかりにくいです。

こちらの記事で説明したように、式の割り算は

（元の式）＝（割る式）×（商）＋（余り）

という形の意識をもっておくことが重要です。

剰余の定理も「一次式で割った余り」を求める方法なので、この形を意識しないといけません。

もう少し具体的に見てみましょう。剰余の定理は「多項式\(P(x)\)を一次式\(x-a\)で割った余り」の話なので、

\(P(x)\)を一次式\(x-a\)で割ったときの商を\(Q(x)\)、余りを\(r\)とします。

ここで重要なのは、（余りの次数）<（割る式の次数）となるので、一次式\(x-a\)で割ったときの、この余り\(r\)は定数になります。よって、

\(P(x) = (x-a)Q(x) + r\)

他の余りを求める問題でもよくやるのですが、よくわからない商\(Q(x)\)部分を上手く消去するために、\(x=a\)をこの式に代入します。すると、

\(P(a) = 0 \cdot Q(a) + r\)
\(P(a) = r\)

となります。

ということで、\(x-a\)で割った余りは\(P(a)\)、となります。

ここがイメージできれば、あとは２，３問練習すれば慣れていきます。

例．\(x^3 +2x^2 -4x+3\)を\(x-1\)で割った余りを求めよ。

ちなみに、実際に割ると次のようになります。

剰余の定理の例と練習問題

剰余の定理まとめ

剰余の定理のイメージと練習でした。

まずは、しっかりと

（元の式）＝（割る式）×（商）＋（余り）

の形をアタマの中に入れておいて下さい。今後も式の割り算の話をするときに役に立つはずです。

あとは、数問練習をして慣れていきましょう。