対数の公式完全版！【なぜあのような性質があるのか？についても説明】

2024年2月26日2024年4月29日

対数の公式…公式、というより性質なのですが、「公式」の方が馴染み深いのでこの記事では「公式」と呼ぶことにします。

この対数の公式は覚えて使えれば問題はないのですが、この記事では対数の公式の本質的な意味まで深堀りしていきたいと思います。

対数の公式

たろぅ

…また覚えものか。数式の暗記って苦手なんだよね…。

はなこ

あら、どうしたの？顔色がドラ◯ンボールの悪役みたいな色になってるわよ？

たろぅ

ドラ◯ンボールの悪役って、ことごとく顔色悪いよね…ってそんなのはどうでもいいのよ。三角関数で覚えものはお腹いっぱいだったのに、対数でまた覚えものですよ…。勘弁して下さい。

はなこ

あぁ…あの対数の公式（性質）ね。アレ、なんかちょっとわかりにくいよねぇ。

たろぅ

お！珍しく同意が得られた！そうなのよ、なんかさ…どこの掛け算が足し算になるのか、とか微妙にわかりにくい、というか間違えちゃうんだよねぇ…。そもそも対数自体がわかりにくいのに…。

ということで、対数の公式（性質）です。

まずは、対数の公式を確認しましょう。

\(log_{a}1\)、\(log_{a}a\)について

\(a^0 = 1\)を対数の定義にしたがって変形すると、\(log_{a}1=0\)

（＝真数が\(1\)だと必ず\(0\)になる）

\(a^1 = a\)を対数の定義にしたがって変形すると、\(log_{a}a=1\)

（＝真数が底\(a\)と一致すると必ず\(1\)になる）

対数の公式一覧

・\(\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N\)

・\(\displaystyle \log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M – \log_{a}N\)

・\(\log_{a}M^k = k \log_{a}M\)

・\(\displaystyle \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)（底の変換公式）

対数の公式の証明

\(\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N\)について

（証明）

\(\log_{a}M = p\)、\(\log_{a}N = q\)とおく。対数の定義を使って指数の形に戻すと、

\(a^p = M\)、\(a^q = N\)。

よって\(MN = a^p \times a^q = a^{p+q}\)。

対数の定義を使って対数の形すると、

\(p+q = \log_{a}MN\)。\(p\)、\(q\)を代入すると、

\(\log_{a}M + \log_{a}N = \log_{a}MN\)つまり\(\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N\)（終）

２つ目の\(\displaystyle \log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M – \log_{a}N\)も同じように証明することができます。もしくは、１つ目の\(\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N\)と３つ目の\(\log_{a}M^k = k \log_{a}M\)を使って証明することができます。

せんせ

これは自分でやってみて下さい。

\(\log_{a}M^k = k \log_{a}M\)について

（証明）

\(\log_{a}M = p\)とおく。対数の定義を使って指数の形に戻すと、

\(a^p = M\)。両辺を\(k\)乗して、

\(a^{kp} = M^k\)。対数の定義を使って対数の形にすると、

\(\log_{a}M^k = kp\)。\(p\)を代入すると、

\(\log_{a}M^k = k \log_{a}M\)（終）

\(\displaystyle \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)について

（証明）

\(\displaystyle \log_{a}{b} = p\)とおく。対数の定義を使って指数の形に戻すと、

\(a^p = b\)

両辺、底\(c\)の対数をとると、

\(\log_{c}a^p = \log_{c}b \)
\(p\log_{c}a = \log_{c}b \)

\(\displaystyle p = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

よって\(\displaystyle \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)（終）

最後の底の変換公式についてはコチラの記事も合わせてご覧ください。

対数の公式について説明

せんせ

まぁ…公式をしっかり覚えてくれたら、特に公式の意味を知る必要もないと思いますが…。意味を考えるとちょっと面白いし覚えやすくなるので、説明しておきます。

公式一覧の最初の公式、\(\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N\)を具体例を使いながら説明してみます。

例．\(\log_{2}(3\times5) = \log_{2}3 + \log_{2}5\)

ポイントは、対数は「『その底をもつ指数関数＝真数の値となるとき』の指数」だ、という意味があることです。

せんせ

言葉でいうとわかりにくいですね…。具体的に例の左辺の式を見てみましょう。

左辺の\(\log_{2}(3\times5)\)（\(=p\)とする）の意味は「『\(2^p=3 \times 5\)』となるときの指数部分\(p\)」ということです。つまり\(3 \times 5\)を\(2^□\)で表そうとすると、その□部分が\(\log_{2}(3\times5)\)になる、ということです。

一方、右辺を同じように考えると、「『\(2^q=3\)』となるときの指数部分\(q\)」+「『\(2^r= 5\)』となるときの指数部分\(r\)」という意味です。つまり、「\(3\)を\(2^△\)で表したときの△部分」+「\(5\)を\(2^◯\)で表したときの◯部分」になる、ということです。

\(\log_{2}(3\times5) =\)（\(3 \times 5 = 2^□\)の□部分）

\(\log_{2}3 + \log_{2}5 = \)（\(3 = 2^△\)の△部分）+（\(5 = 2^◯\)の◯部分）

このとき、\(3 \times 5 = 2^△ \times 2^◯ = 2^{△+◯}\)となるので、（\(3 \times 5 = 2^□\)から）

\( 2^□ = 2^{△+◯}\)。指数部分に着目すると、\(□=△+◯\)となります。

要は、指数法則を対数で表したもの、なんですね。

\(\log_{a}M^k = k \log_{a}M\)の意味

こちらも例を使いながら説明してみましょう。

例．\(\log_{2}3^5 = 5\log_{2}3\)

先程のように考えると、

（左辺）=（\(3^5 = 2^□\)の□部分）

（右辺）= \(5 \times\)（\( 3 = 2^△\)の△部分）

このとき、\(3^5 = (2^△)^5 = 2^{5 \times △}\)となるので、

\( 2^□ = 2^{5 \times △}\)。指数部分に着目すると、\( □ = 5 \times △\)となります。

こちらも、指数法則を対数で表したもの、なんですね。

ちなみに、

たろぅ

\(3 \times 5 = 2^□\)ってなんだ？そんな風に表せるわけないじゃん…。

という人は、この議論の中心となる「ある数は（対数を使えば）どんな指数の形でも表せる」という性質を知っておいて下さい。

この指数に関する底の変換公式も説明していますので、コチラの記事をぜひご覧下さい。

対数の公式の練習問題

練習問題8-2【No.28】

問１．次の式を計算せよ。

(1) \( \log_{6}4 + \log_{6}9\)
(2) \(\log_{2}3 – \log_{2}48\)
(3) \( \log_{2}3(\log_{3}4 + \log_{9}8)\)

問２．\(\log_{a}x = X\)、\(\log_{a}y = Y\)としたとき、次の式を\(X\)、\(Y\)で表せ。

\(a^{10} = x^4y^2\)

答え

問１
(1) \(2\)
(2) \(-4\)
(3) \(\displaystyle \frac{7}{2}\)

問２
\( 2X + Y = 5\)

練習問題8-3【No.29】

問．\(\theta \)が、\(3^{\cos{2\theta}} = 2\)を満たすものとする。このとき、次の各問いに答えよ。ただし、\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)であるとする。

(1) \(\displaystyle \log_{6}\frac{3}{2} = \tan^2{\theta}\)となることを示せ。
(2) \( \theta\)は \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)より大きいか？小さいか？。理由をつけて述べよ。ただし、常用対数表の値を用いてよい。

答え

(1) 省略
(2) \(\frac{\pi}{6}\)より小さい。