ベイズの定理をわかりやすく説明

\(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)…① です。

一方、AとBを逆にした、「事象Bが起きた上で事象Aが起きる確率を条件付き確率」は

\(\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)…② です。

①より、\(P(A \cap B)=P(A)P(B|A)\)ですよね？

②より、\(P(A \cap B)=P(B)P(A|B)\)ですよね？

よって、\( P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(A \cap B)\)です。

せんせいは、日頃からいじわるな質問ばかりするのですが、たまに生徒に当てまくる「鬼モード」に入ることがあります。この「鬼モード」に入ると、生徒は必ず当たってしまいます。そのくらい質問しまくります。

日頃の授業では、あまりこの「鬼モード」になることはありません。全体で計算すると、５％の確率で「鬼モード」に入ります。

ですが、僕は気づいてしまいました。ある条件を満たすと、高確率で「鬼モード」に入るようです。

長期にわたる統計データを取った結果、どうやらこの「鬼モード」に入るのには『授業変更』とその『時間』が深く関係しているようです。

「鬼モード」に入ったとき『４限に授業変更で授業をしていた』、という条件付き確率はなんと驚異の９０％！せんせいは多分、授業が増えるし、お腹も空くので不機嫌なのでしょう。

そして、授業変更で４限に授業が入る確率は６％です。

「鬼モードに入る」という事象を「鬼」。

「４限に授業変更で授業が入る」事象を「４」と書くとする。

求めたい条件付き確率は、「４限に授業変更が入っているという条件のもと鬼モードに入る条件付き確率」です。

つまり、\(P(鬼|４)\)ですね。

また、データから、\(\displaystyle P(鬼)=\frac{5}{100}\)、\(\displaystyle P(４|鬼)=\frac{90}{100}\)、\(\displaystyle P(４)=\frac{6}{100}\)、がわかっています。

ベイズの定理より、

\(\displaystyle P(鬼|４)=\frac{P(鬼)P(４|鬼)}{P(４)}\)

\(\displaystyle =\frac{\frac{5}{100} \cdot \frac{90}{100}}{\frac{6}{100}}=\frac{75}{100}\)…（答）